¿Cómo demostrar que uno más uno es dos?

La axiomatización de los números naturales fue propuesta por primera vez por el matemático estadounidense Pierce en 1881. Se define de la siguiente manera:

1 es el número más pequeño;

X y, cuando x = 1, ¿el siguiente número es mayor que y? De lo contrario, ¿el siguiente número es mayor que x? La cantidad de y;

X × y, cuando x=1 es y, en otros casos es y x? y;

¿Dónde, x? Si el último número es menor que x.

Debido a que la resta y la división son operaciones inversas de la suma y la multiplicación respectivamente (y no están cerca de los números naturales), solo se requieren la suma y la multiplicación axiomáticas.

Según la definición del axioma de Peirce, 1 1 es el caso de x=1, y su valor es el siguiente número mayor que y=1, es decir, 2.

Más tarde, en 1888, el matemático alemán Dedekind dio otro conjunto de axiomas:

Supongamos que N no está vacío y dado un elemento e∈N en N, entonces N hay un mapeo S:N→N, si:

e no es el valor de s, ¿lo es e? Ran;

s está introyectado, es decir:? N, m∈N, (S(n)=S(m))? (n = m);

El principio de inducción, es decir, para cualquier subconjunto a? N, si e∈N y si n∈A, entonces A es N, es decir:? ¿respuesta? N, (1∈N)∧((1∈N)?(S(n)∈A))? (A=N),

Entonces el triplete (N, e, S) se llama sistema de números naturales, N se llama conjunto de números naturales, e se llama elemento inicial y S se llama conjunto de números naturales. elemento posterior.

Dedekind, desde un nivel más esencial, axiomatizó los números naturales. A través de este axioma, podemos definir las operaciones de suma y multiplicación de números naturales, que son equivalentes a los axiomas de Peirce.

Sin embargo, este sistema de axiomas era algo complicado (el lenguaje de lógica matemática acababa de establecerse en ese momento), por lo que no atrajo la atención de la gente.

Nota: ¿Aquí? ¿Está incluido, está realmente incluido? .

Al año siguiente, 1889, el matemático italiano Peano, independiente de Dedekind, publicó los axiomas de Peano:

0 es un número natural;

El número sucesor n de cualquier número natural n? O un número natural;

0 no es sucesor de ningún número natural;

Dos números naturales son iguales si y sólo si sus sucesores son iguales;

Para el conjunto de números naturales Subconjunto A, si 0∈N y n∈A, entonces N? ∈A entonces A es un conjunto de números naturales.

Obviamente, los axiomas de Peano son una versión simplificada de los axiomas de Dedekind, por lo que también se denominan axiomas de Dedekind-Piano.

Nota: Peano primero consideró el 1 como el número natural más pequeño y consideró la relación de equivalencia como parte de los axiomas. Lo anterior es la versión mejorada posterior.

Utilizando los axiomas de Peano, la suma de números naturales se define de la siguiente manera:

x 0=x

x y? =(x y)?

La multiplicación es la siguiente:

x0=0

xy? =x xy

Utilice la definición de suma anterior para probar el problema de esta pregunta:

1 1=1 0?=(1 0)?=1?=2

El sistema de axiomas anterior es abstracto y tiene diferentes ejemplos en diferentes campos de las matemáticas. Tomemos como ejemplo los axiomas de Peano:

Según la aritmética más antigua:

0=0

x? =x 1

Según la teoría de conjuntos:

0=?

x? = x ∨{ x }

Entonces hay:

1={0}, 2={0, 1}, 3={0, 1, 2}, ..

Colina número impar:

0=λ.sλ. ¿Zigzag

x? =λ.xλ.sλ. zxs(Shenzhen)

Entonces hay:

1=λ.sλ. zsz,2=λ.sλ. zs(sz), 3=λ.sλ.

zs(s(sz))

Según la teoría de categorías:

Supongamos que C es una categoría y 1 es el objeto terminal de C. ¿Entonces define la categoría US? (c) de la siguiente manera:

¿Nosotros? El objeto de (c) es el triplete (X, 0?, S?), donde x es el objeto de c, 0? :1→X y s? :X→X es un morfismo de c;

¿Lo somos? (c) f: (X, 0?, S?) → (Y, 0?, S?) es un morfismo C f: X → Y, y satisface: f0? =0? =¿S? f,

¿Y si nosotros? Un objeto inicial (N, 0, S) se puede encontrar en (c), es decir, para cualquier objeto (X, 0?, S?), existe un morfismo único u: (N, 0, S) → ( X, 0?, S?), se dice que C satisface los axiomas de Peano. ¿A nosotros? Cada objeto triplete en (c) es un sistema de axiomas de piano.

Se puede demostrar que estos ejemplos satisfacen las condiciones definidas por los axiomas de Peano, por lo que estos ejemplos están bien definidos.

Debido a mis limitadas habilidades matemáticas, los errores son inevitables. ¡Se aceptan críticas y correcciones por parte de la asignatura y de los profesores! )

2. La conjetura de Goldbach

1, mucha gente no entiende por qué es necesario demostrar 1 1 = 2. ¿No es esto de sentido común?

Sin embargo, hay mucho detrás de esta pregunta, que parece sencilla pero que resulta muy apasionante. Permítanme responder por qué es necesario demostrar 1 1 = 2 y por qué es tan difícil demostrarlo.

2. ¿Qué es "1 1 = 2"?

El llamado "1 1 = 2" en realidad se refiere al problema de Goethe, que se conoce como uno de los tres principales problemas matemáticos. problemas en el mundo moderno.

En 1742, Goldbach tuvo una idea repentina: "Cualquier número entero mayor que 2 puede escribirse como la suma de tres números primos". Pero el propio Goldbach no pudo demostrarlo, por lo que le escribió al famoso Euler A. La carta presentó su conjetura y esperaba que Euler pudiera ayudarlo a resolver este problema.

Sin embargo, ante esta maravillosa conjetura, el gran Euler no pudo dar una prueba razonable hasta su muerte. Curiosamente, han pasado cientos de años, pero este problema que incluso los estudiantes de primaria pueden entender ha dejado perplejos a todos los matemáticos del mundo.

3. Datos interesantes

La persona actualmente más cercana a la prueba perfecta de 1 1 = 2 es el Sr. Chen Jingrun, un famoso matemático chino. En 1966, Chen Jingrun demostró la teoría del "1 2" en la conjetura de Goldbach. Esta conclusión se llama "teorema de Chen" y avanza enormemente la prueba de la conjetura de Goldbach.

Nota: Antes de esto, otros matemáticos habían demostrado gradualmente desde "1 n" hasta "1 5", "1 4" y "1 3", también llamado método de detección.

Los “1 2” y “1 1” de Chen Jingrun están a sólo un paso de distancia. Mientras se demuestre la teoría del "11", la conjetura de Goldbach puede llegar a un final perfecto.

Sin embargo, de hecho, todavía estamos lejos de una prueba perfecta de este problema.

4. ¿Por qué es difícil demostrarlo?

Mucha gente no entiende por qué la conjetura de Goldbach es tan genial. De hecho, la razón es que esta conjetura puede definir casi todos los números enteros mayores que 2. Equivale a decirle al mundo, mira, todos los números enteros están compuestos de números primos.

Y esto es como cuando no había microscopio, y de repente alguien propuso que los átomos son los elementos más pequeños de toda la materia.

Demostrar la conjetura de Goldbach es tan difícil como demostrar que los átomos lo constituyen todo sin necesidad de un microscopio.

5. Escríbalo al final

Vi muchas respuestas hostiles a esta pregunta y espero que quien pregunta las ignore. Buscar la verdad es algo grandioso. Pero le recuerdo amablemente al interrogador que no intente probar 1 1 = 2 por sí mismo. Incluso si afirma que lo ha logrado, inevitablemente lo llamarán un interrogador popular.

6. Esta pregunta involucra los axiomas de Peano.

Los cinco axiomas del piano son:

(1) 0 es un número natural

(2) Todo número natural A tiene un número sucesor definido A'; , A' también es un número natural;

(3)0 no es el sucesor de ningún número natural;

(4) Diferentes números naturales tienen diferentes sucesores. Si los sucesores de A y B son ambos números naturales C, entonces A = B;

(5) Si el conjunto S es un subconjunto del conjunto de números naturales n y cumple dos condiciones: χ, 0 pertenece a S; 4. Si n pertenece a S, entonces el número sucesor de n también pertenece a S; entonces S es el conjunto de los números naturales. Este axioma también se llama axioma de inducción.

El quinto axioma es repugnante. Dada su pregunta, podemos discutir la segunda.

En el segundo axioma, supongamos que el sucesor del número natural 1 es x’, es decir, 1 1 = x’. Entonces definimos

Entonces 1 1 = 2 es una definición artificial que no requiere prueba y no puede ser revocada. Si 1 1 no es igual a 2, para decirlo sin rodeos, más de 99 teoremas en el campo actual de las matemáticas colapsarán y las matemáticas comenzarán de nuevo.

Conclusión: Sin embargo, 1 1 tiene otro significado, que es la forma última de la conjetura de Goldbach. Nadie puede probar esta conjetura en este momento. La mejor prueba actualmente es la 1 2 de Chen Jingrun. Por lo tanto, no hay solución para la conjetura 1 1 de Goldbach. Por supuesto, no puedo proporcionar ninguna solución.

Si tienes alguna otra opinión sobre el tema, ¡deja un mensaje y discútelo juntos!