La constante natural de e
La constante natural e es un número maravilloso. Aquí, e no es solo una letra, sino también una constante irracional en matemáticas, que es aproximadamente igual a 2,5000000001,50005438 0.
Pero ¿alguna vez te has preguntado cómo sucede esto? ¿Por qué a un número irracional se le llama "constante natural"?
Hablando de e, naturalmente pensamos en otra constante irrazonable. Podemos entenderlo visualmente estimando las longitudes de los lados del polígono inscrito y del polígono circunscrito en la siguiente figura.
Suponiendo que el diámetro de un círculo es 1, las circunferencias de su polígono circunscrito y su polígono inscrito pueden formar los límites superior e inferior del valor estimado. Cuantos más lados tenga un polígono inscrito o circunscrito, más estrecho será su rango. Mientras haya suficientes bordes, los límites superior e inferior del rango estarán más cerca.
Si el cálculo es intuitivo, ¿qué pasa con E? Por lo tanto, aquí también se utiliza un método esquemático para comprender intuitivamente a E.
En primer lugar debemos saber que el símbolo E, que representa el número cardinal natural, fue nombrado por el matemático y físico suizo Leonhard Euler, tomando la letra inicial "E" de Euler.
Leonhard Euler (1707-1783)
Pero en realidad, la primera persona en descubrir esta constante no fue el propio Euler, sino Jacob Nouri.
La familia Bernoulli
La familia Bernoulli era una familia famosa en Suiza en el siglo XVIII, que incluía a muchos científicos matemáticos famosos. Jacobi Bernoulli era el hermano mayor de Johann Bernoulli, el profesor de matemáticas de Euler. En resumen, los jefes están inextricablemente vinculados.
Una de las formas más intuitivas de entender el origen de E es introducir un nombre económico "interés compuesto".
El interés compuesto (inglés: Compound interest) es un método para calcular el interés. De acuerdo con este método, los intereses se calcularán en función del capital y los intereses recién devengados también pueden generar intereses, por lo que se los conoce comúnmente como "intereses rodantes", "intereses rodantes" o "intereses superpuestos". Cuanto más se acerque el período de cálculo de los intereses, la riqueza aumentará más rápido y cuanto más largo sea el período, más evidente será el efecto del interés compuesto. 3354 Wikipedia
Antes de presentar el modelo de interés compuesto, primero intentemos ver el modelo de crecimiento exponencial más básico.
Sabemos que la mayoría de las bacterias se reproducen en dicotomías. Supongamos que un determinado tipo de bacteria se dividirá una vez al día, es decir, un ciclo de crecimiento es de un día, como se muestra en la siguiente figura, lo que significa que el El número total de bacterias cada día es el mismo que el día anterior.
Obviamente, si se divide por x días (o x ciclos de crecimiento), equivale a x veces. El día X, el número total de bacterias se duplicará. Si el recuento bacteriano inicial es 1, el recuento bacteriano después de x días es 2x:
Si el número inicial es K, el recuento bacteriano después de x días es K 2x:
Así que siempre y cuando todas las bacterias se dividan todos los días Una vez, no importa cuál sea el número inicial, el número final es el doble del número inicial. Por lo que también se puede escribir como:
La fórmula anterior significa: en el día X, el número total de bacterias es Q veces el número inicial de bacterias.
Si "dividir" o "doble" se reemplaza por un término más literario, también se puede decir que "la tasa de crecimiento es 100". Entonces podemos escribir la fórmula anterior de la siguiente manera:
Cuando la tasa de crecimiento no es 100, sino 50, 25, etc., solo necesita cambiar la fórmula anterior de 100 a la tasa de crecimiento que desee. De esta manera, podemos obtener una fórmula más general:
La connotación matemática de esta fórmula es: la tasa de crecimiento dentro de un ciclo de crecimiento es r, y después de x ciclos de crecimiento, la cantidad total será la cantidad inicial q veces.
Lo anterior es un ejemplo simple de crecimiento exponencial. Echemos un vistazo a lo que descubrió Jacob Bernoulli:
Supongamos que tienes 1 dólar en el banco. En ese momento ya se había producido una inflación grave y las tasas de interés bancarias se habían disparado a 100 (exageradas para facilitar el cálculo). Si el banco paga intereses una vez al año, naturalmente un año después, puede obtener 1 yuan de capital (círculo azul) y 1 yuan de intereses (círculo verde), con un saldo total de dos yuanes.
En la actualidad, la tasa de interés anual del banco permanece sin cambios, pero para atraer clientes, el banco ha lanzado una política para beneficiar a la gente y pagar intereses cada seis meses.
Luego, en el sexto mes, puedes obtener 0,5 yuanes de interés del banco por adelantado.
Si es prudente, inmediatamente depositará nuevamente el interés de 0,5 yuanes en el banco, y el interés de 0,5 yuanes también acumulará intereses en el siguiente ciclo de liquidación (círculo rojo). El término profesional es "interés compuesto", por lo que el saldo del depósito al final del año es igual a 2,25 yuanes.
En este punto, podemos ver este problema desde otro ángulo: es decir, cada
período de liquidación (crecimiento) es de medio año, la tasa de interés es 50 (o 100 /2) durante medio año, y los intereses de liquidación anual se pagan dos veces y los intereses se depositan inmediatamente después de la primera liquidación de intereses. En este momento, nuestra fórmula de cálculo y resultados son los siguientes:
Continuar, suponiendo que para competir con otros bancos, el banco no quiere ganar dinero en el corto plazo y paga intereses cada cuatro meses. ! Pero eres inteligente y ahorras tan pronto como recibes los intereses, lo que es similar a pagar intereses medio año: es decir, cada período de liquidación es de cuatro meses y la tasa de interés es 33,33 (o 100/3) cada cuatro meses. Los intereses se pagan tres veces al año y las dos primeras. Todos los intereses se depositarán inmediatamente después de la liquidación.
En este momento, la fórmula de cálculo y los resultados son los siguientes:
Dios mío, aunque la tasa de interés anual no ha cambiado, a medida que aumenta el pago de intereses anual, puedes obtenerlo. del banco al final del año ¡El dinero en realidad está aumentando!
¿Seguirá aumentando hasta el infinito? Buen intento, ¿eh?
Ahora supongamos que los depositantes y los bancos están locos. El banco continúa pagando intereses a los depositantes con la premisa de garantizar una tasa de interés anual de 100. Los depositantes permanecen en el banco todos los días y cuando reciben intereses, los depositan en el banco. El interés obtenido de esta forma se denomina "interés compuesto continuo".
Sin embargo, descubrirás que parece haber un "techo" que bloquea tu pequeño objetivo de ganar 100 millones de yuanes por 1 yuan. Este "techo" es E!
Si hacemos una serie de operaciones iterativas, veremos los siguientes resultados:
Donde n se refiere al número de liquidaciones de intereses en un año.
Mientras la tasa de interés anual se mantenga sin cambios en 100, ¿el saldo estará cerca de e =2.718281845?
Así que, finalmente, podemos sacrificar una limitación importante al calcular E en cálculo matemático avanzado:
Al mirar ahora este importante límite, creo que habrá una comprensión más intuitiva.
En otras palabras, incluso si la tasa de interés anual del banco es 100, no importa cuánto "interés compuesto" le pida al banco que "componga el interés", es imposible obtener un saldo que exceda e veces el principal al final del año. Además, nunca he visto ningún banco con un tipo de interés anual del 100.
Aunque los bancos normales no lanzarán políticas preferenciales de interés compuesto continuo, en esencia, la mayoría de las cosas se encuentran en un estado de "crecimiento continuo inconsciente". Para algo que continúa creciendo, si la tasa de crecimiento por unidad de tiempo es 100, entonces será e veces su tamaño original después de una unidad de tiempo. El crecimiento y la reproducción de los seres vivos es similar al proceso de "generación de beneficios".
Pon otro ejemplo, en una espiral equiangular:
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Si se expresa en coordenadas polares, su expresión matemática general es:
donde a y b son coeficientes, la distancia desde el punto de la espiral R hasta el origen de las coordenadas, y θ es el ángulo de rotación. Esta es una función exponencial basada en la constante natural e.
Por ejemplo, la sección transversal de una concha de Nautilus muestra una hermosa espiral equiangular:
Concha de Nautilus
La depresión tropical también parece una espiral equiangular:
Depresión Tropical
Incluso los brazos espirales de las galaxias espirales parecen espirales equiangulares:
Nebulosa de la Hélice
Quizás esta sea la E Causas llamadas "constantes naturales". Por supuesto, las maravillas de la constante natural e son mucho más que eso, y no puedo leerlas todas en un solo libro.
Referencia:
Una guía visual de funciones exponenciales ampe, /articles/an-una guía visual de funciones exponenciales-e/
[2] Cálculo prehistórico : el descubrimiento de pi, /articles/prehistory-calculus-discovery-pi/
[3]Interés compuesto, https://en.wikipedia.org/wiki/Compound_interest
[4]https://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard Euler por Leonhard_Euler
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