A Doe le cuesta mucho echar suertes.
Ejemplo 2 Se sabe que los puntos correspondientes de los números racionales A, B y C en el eje numérico son A, B y C respectivamente (como se muestra en la figura de la bien). simplificar.
El análisis puede obtener directamente el signo de A, B y C del eje numérico, pero la clave de este problema es eliminar el valor absoluto, por lo que el signo de la expresión en el símbolo de valor absoluto debe ser juzgado. Sabemos que "en el eje numérico, el número de la derecha siempre es mayor que el número de la izquierda". El número reducido por un número grande es positivo y el número reducido por un decimal menos un número grande es negativo. de esta manera, podemos obtener A-B
La solución es La recta numérica conocida, a
Por lo tanto, =-a-(a-b)+(c-b)=-a-a+b+ c-b =-2a+c.
Ejemplo 3 de cálculo:
El análisis de este problema parece complicado, pero en realidad es un tigre de papel. Siempre que te atrevas a calcular, podrás encontrar las habilidades de inmediato y el problema se volverá muy simple.
Resolver la fórmula original = =
Ejemplo de cálculo 4: 2-22-23-24-...-218-219+220.
Analizar Este El problema de calcular cada elemento y sumarlo es obviamente demasiado complicado. ¿Cómo pueden "anularse mutuamente"? Podemos considerar el caso más simple. 2-22+23 = 2+22 (-1+2) = 2+22 = 6. Entonces considere 2-22-23+24 = 2-22+23(-1+2)= 2-. ¿Se puede aplicar este método al problema original? Al parecer, esto es posible.
Resolver fórmula = 2-22-23-24-218+219(-1+2)
=2-22-23-24-……-218+219
=2-22-23-24-……-217+218(-1+2)
=2-22-23-24-……-217+218
=……
=2-22+23
=6
Ejercicios básicos
1, ya Sabiendo que │ab-2│ y │b-1│ son antónimos, intenta encontrar el valor.
(Consejo: este problema puede considerarse como una versión mejorada del Ejemplo 1. La sustitución de los valores de A y b se convierte en el Ejemplo 1.)
2. () valores posibles (2, 3, 4, innumerables).
Respuestas de referencia
1, 2, 3
Las cartas representan varios artículos.
Consejos básicos
El conocimiento básico del uso de letras para representar números es encontrar valores y patrones algebraicos. Al encontrar valores algebraicos, es fácil simplemente ingresar un número y evaluarlo. Si la condición es una ecuación, la fórmula requerida se puede transformar adecuadamente y se puede utilizar el método de sustitución general o el método de valor especial.
Ejemplo típico
Ejemplo conocido 1: 3x-6y-5 = 0, luego 2x-4y+6 = _ _ _ _
Análisis para este For Para tales problemas, generalmente usamos el "método de sustitución completa", que primero simplifica las condiciones y luego convierte el álgebra requerida en una forma sustituible y realiza sustituciones. Existe un método más simple para este tipo de problema. Puede usar el "método de valor especial" para obtener y = 0, de 3x-6y-5 = 0, y sustituir los valores de X e Y en 2x-4y.
La solución es 3x-6y-5=0, obtenida.
Entonces 2x-4y+6=2(x-2y)+6= =
Se conoce la expresión algebraica del Ejemplo 2, donde n es un entero positivo. Cuando x=1, el valor de la expresión algebraica es. Cuando x=-1, el valor de la expresión algebraica es.
El análisis muestra que cuando x=1, la respuesta se puede obtener directamente. Pero cuando x = -1, ¿cómo determinar la paridad de n y (n-1)? Como n y (n-1) son números naturales continuos, los dos números deben ser pares e impares.
Solución Cuando x=1,
= =3
Cuando x=-1,
= =1
p>Ejemplo 3 152 = 225 = 100×1(1+1)+25, 252 = 625 = 100×2(2+1)+
352=1225=100×3( 3+1)+25, 452=2025=100×4(4+1)+25……
752=5625= ,852=7225=
(1) Encontrado Ley, complete la línea horizontal por completo;
(2) Utilice letras para indicar la ley;
Calcule el valor de 20052.
Si te resulta difícil encontrar patrones en horizontal, puedes mirar en vertical y los patrones quedarán claros de un vistazo. 100 no cambia, sumar 25 no cambia, sumar 1 entre paréntesis no cambia, solo los sumandos entre paréntesis y los factores fuera de los paréntesis cambian con el dígito de las decenas del número cuadrado.
Resuelve (1) 752 = 100×7(7+1)+25, 852 = 100× 8 (8+1)+25.
(2)(10n+5)2 = 100×n(n+1)+25
(3) 20052=100×200(201)+25= 4020025
El ejemplo 4 es un triángulo como se muestra en la Figura ①.
Conecte los puntos medios de los tres lados del triángulo para obtener la figura ②, y luego conecte los puntos medios de los tres lados del triángulo pequeño en el medio de la figura ② para obtener el número de triángulos como se muestra en la figura ③.
(1) Cuando n=4, S=,
(2) De acuerdo con esta regla, escriba la fórmula que N representa s.
Análisis Cuando n = 4, podemos continuar dibujando y obtener el número de triángulos. ¿Cómo encontrar patrones? A veces nos resulta difícil ver patrones simplemente a partir de los resultados. Debemos aprender a descubrir patrones a partir del proceso de cambio. Por ejemplo, podemos buscarla a través de una lista, y la ley aparecerá inmediatamente.
Solución (1) S=13
(2) Puedes buscar la ley en la lista:
n
1
2
三
…
n
S
1
Cinco
Nueve
…
4(n-1)+1
El proceso de cambio de s
1
1+4=5
1+4+4=9
…
1+4 +4+…+ 4 = 4(n-1)+1
Entonces S=4(n-1)+1. (Por supuesto, también se puede escribir como 4n-3).
Ejercicios básicos
1 Observe los siguientes números y explore las reglas:
—1. , , , ,
①Rellena los espacios en blanco: Los números 11, 12 y 13 son, respectivamente;
②¿Qué es el No. 2008?
(3) Si los números de las columnas están ordenados infinitamente, ¿qué número está cada vez más cerca? .
2. Observa los siguientes tipos: 1+1× 3 = 22, 1+2× 4 = 32, 1+3× 5 = 42,... Por favor usa fórmulas para expresar los patrones que descubriste. :
Respuestas de referencia
1. ① , , ;② ;③0.
2. )2
Figuras planas y sus relaciones posicionales
Consejos básicos
Las figuras planas son un problema geométrico simple. Los problemas de geometría son fáciles de aprender, pero a veces son difíciles de expresar porque el proceso no se puede escribir bien. Entonces, el conocimiento central en esta parte es escribir el proceso de encontrar segmentos de línea, intersecciones de segmentos de línea o ángulos. Cada uno puede escribir de manera diferente, pero siempre que la expresión sea clara, manténgala lo más simple posible.
Ejemplos típicos
Ejemplo 1 Las seis rectas que se cortan en el plano deben ser como mínimo _ _ _ _ _ y como máximo _ _ _ _.
El número mínimo de puntos de intersección de seis rectas es 1. ¿Cómo encontrar el número máximo? Podemos dejar que la línea recta encuentre el patrón paso a paso de menos a más. Sería más claro enumerarlo.
Resolver la ley de máxima intersección;
Número de rectas
2
Tres
Cuatro
…
n
Número de intersecciones
1
Tres
Seis< /p >
<…
El proceso de cambio del número de intersección
1
1+2=3
1+2 +3 =6
1+2+3+…+(n-1)
Gráfico
Figura 1< /p >
Figura 2
Figura 3
…
Ejemplo 2 Hay cuatro puntos y cinco puntos en dos rectas paralelas M y N respectivamente . Si dos de los nueve puntos se conectan en línea recta, entonces un * * * puede conectar () líneas rectas.
Artículo 36, Artículo 34, Párrafo 22
Solución analítica: Conectar los cuatro puntos de la recta M y los cinco puntos de la recta N para determinar 20 rectas, más Una recta determinada por cuatro puntos de la recta M y cinco puntos de la recta N se convierte en 22 rectas. Entonces elegí a D.
Como se muestra en la Figura 3, OM es la bisectriz de ∠AOB. El rayo OC está en ∠BOM y ON es la bisectriz de ∠BOC. Se sabe que ∠ AOC = 80, entonces el tamaño de ∠MON es igual a _ _ _ _ _.
Hay dos formas de analizar y encontrar ∠MON. Puedes usar la suma para encontrarlo, es decir, ∠ mon = ∠ MOC+∠ con. También puedes usar la diferencia para encontrarlo, por lo que hay muchos métodos, ∠mon = ∠mob-∠bon = ∠AON-∞.
Solución Debido a que OM es la bisectriz de ∠AOB y on es la bisectriz de ∠BOC,
Entonces ∠MOB= ∠AOB y ∠NOB= ∠COB.
Entonces ∠mon =∠MOB-∠NOB =∠AOB-∠COB =(∠AOB-∠COB)=∠AOC =×80 = 40.
Ejemplo 4, como se muestra en la figura, se sabe que ∠AOB = 60, OC es la bisectriz de ∠AOB, OD y OE bisectan ∠BOC y ∠AOC.
(1) Encuentre el tamaño de ∠DOE;
(2) Cuando OC gira alrededor del punto O en ∠AOB, OD y OE siguen siendo partes iguales de ∠BOC y ∠AOC Cable.
Pregunte si el tamaño de ∠DOE es el mismo que la respuesta en (1) y qué conclusiones se pueden sacar de este proceso.
Este problema parece ser más complicado de analizar. OC necesita rotar alrededor del punto O en ∠AOB. Este es un problema dinámico. Cuando resuelva la subpregunta (1), encontrará que ∠DOE es la mitad de ∠AOB, es decir, el ∠DOE requerido no tiene nada que ver con la posición de OC en ∠AOB.
Solución a (1) Debido a que OC es la bisectriz de ∠AOB, OD y OE bisecan ∠BOC y ∠AOC.
Entonces ∠DOC= ∠BOC, ∠COE= ∠COA.
Entonces ∠DOE = ∠Doc + ∠COE = ∠BOC + ∠COA = (∠BOC + ∠COA) = ∠AOB.
Porque ∠ AOB = 60
Entonces ∠ DOE = ∠ AOB =× 60 = 30.
(2) Se puede ver en (1) que ∠DOE = ∠AOB no tiene nada que ver con la posición de OC en ∠AOB, por lo que el tamaño de ∠DOE es el mismo que la respuesta en (1).
Ejercicios básicos
1. A, B, C, D, E y F son seis puntos de la circunferencia. Se puede obtener un segmento de línea conectando dos puntos cualesquiera. . Tales segmentos de línea * * * pueden conectar_ _ _ _ _.
2. Entre 1 hora y 2 horas, el momento en que la manecilla de las horas y los minutos del reloj están en ángulo recto es 1 minuto.
Respuestas de referencia
Ítem 1, ítem 15 2,.
Ecuación lineal unidimensional
Consejos básicos
El problema central de las ecuaciones lineales de una variable es resolver ecuaciones y resolver problemas de aplicación haciendo ecuaciones. Al resolver una ecuación con denominador, encuentre el mínimo común múltiplo del denominador. Asegúrese de agregar paréntesis al quitar el denominador para evitar errores. A la hora de resolver ecuaciones con parámetros o ecuaciones de valor absoluto, debes aprender a sustituirlas y clasificarlas. Las ecuaciones de secuencia se utilizan principalmente para resolver problemas prácticos. Cabe señalar que las ecuaciones enumeradas deben tener solución y ser fáciles de resolver, es decir, se deben seleccionar relaciones de equivalencia apropiadas al resolver las ecuaciones enumeradas.
Ejemplos típicos
Ejemplo 1 Se sabe que la solución de la ecuación 2x+3=2a es la misma que la solución de la ecuación 2x+a=2. Encuentra el valor de a.
Análisis Debido a que las soluciones de las dos ecuaciones son iguales, puedes resolver una de ellas primero y luego sustituir la solución de esta ecuación en la otra ecuación para resolverla. Después de una observación cuidadosa, descubrimos que no necesitamos encontrar x para este problema; podemos sustituir 2x como un todo.
La solución es 2x+3=2a, 2x=2a-3.
Sustituye 2x=2a-3 en 2x+a=2.
2a-3+a=2,
3a=5,
Por lo tanto
Ejemplo 2 Resuelve la ecuación
Este es un muy buen tema, que incluye eliminar el denominador y olvidar los símbolos.
Multiplica ambos lados de la solución por 6 y obtienes
6x-3(x-1)= 12-2(x+1)
Denominador , obtiene
6x-3x+3=12-2x-2
6x-3x+2x=12-2-3
5x=7
x=
Ejemplo 3: Un centro comercial vende un producto. Debido a que el precio de compra fue un 6,4% más bajo que el precio de compra original, la ganancia aumentó en 8 puntos porcentuales. Encuentre el margen de beneficio original de este producto.
Para analizar este tipo de problemas, primero debemos entender la relación entre margen de beneficio, precio de venta y precio de compra. Como precio de venta = precio de compra × (1 + margen de beneficio), debemos establecer el precio de compra y utilizar el mismo precio de venta para establecer una ecuación.
Explicación: si el precio de compra original es X yuanes y el precio de venta es Y yuanes, el margen de beneficio de las ventas basado en el precio de compra original es
El beneficio de la venta después del el precio de compra original se reduce. La tasa es:
+8%=
La solución es y=1.17x.
Por tanto, el margen de beneficio original de este artículo = 17%.
Ejemplo 4 Resolviendo la ecuación │x-1│+│x-5│=4
Análisis Para una ecuación con valor absoluto, podemos discutirla en dos situaciones, pero para una ecuación con dos valores absolutos, la idea es la misma. Primero podemos encontrar los "puntos cero" de los dos valores absolutos y luego colocar los "puntos cero" en el eje central para discutir x.
Solución: según el significado de la pregunta, cuando │x -1│=0, x = 1; cuando │x-5│=0, x=5.1 y 5 dividen el eje X en tres partes, que se pueden discutir por separado:
1) Cuando x
2) Cuando 1≤x≤5, la ecuación original se puede cambiar a (x-1)-(x-5)=4, y la solución es 4=4, por lo que x puede tomar cualquier valor dentro del rango de 1≤x≤5.
3) Cuando x >; 5. La ecuación original se puede cambiar a (x-1)+(x-5)=4, y la solución es x=5.5, por lo que debe abandonarse.
Entonces 1≤x≤5 es incomparable.
Ejercicios básicos
1. Se sabe que la ecuación 3[x-2(x- )]=4x tiene la misma solución con respecto a x, por lo que esta solución es. (Consejo: esta pregunta puede considerarse como una versión mejorada del Ejemplo 1).
2. Si alguien camina de A a B a una velocidad de 4 km/h, y luego regresa de B a A a una velocidad de 6 km/h, entonces la velocidad promedio del viaje de ida y vuelta de alguien es. _ _ _ _ km/h .
Respuestas de referencia
1, 2, 4,8
Artículos sobre datos de la vida
Consejos básicos
Para los problemas de datos en la vida, es necesario distinguir las características de tres gráficos estadísticos: los gráficos de barras representan números, los gráficos de líneas representan tendencias cambiantes y los gráficos planos representan porcentajes. Aprender a observar y pensar es relativamente sencillo.
Ejemplos típicos
Ejemplo 1 Los siguientes son los resultados de cuatro partidos de los dos equipos de baloncesto en los últimos Juegos Provinciales: (Unidad: minutos)
¿Qué estadísticas para estudiar Los gráficos se pueden utilizar para analizar y comparar dos equipos y responder las siguientes preguntas:
(1) ¿Cómo diseñar gráficos estadísticos?
(2) ¿Cómo evaluar a estos dos equipos? Comparte tus ideas con tus compañeros de clase.
Qué tipo de cuadro estadístico elegir se debe determinar en función de las características de los datos y del propósito a alcanzar. Este problema se puede resolver de forma intuitiva y eficaz utilizando un histograma compuesto.
Interpretación del gráfico de barras compuesto: (que se muestra a continuación)
Como se puede ver en el gráfico de barras dobles, el equipo B ganó los tres juegos y perdió uno.
Ejemplo 2 Responda la pregunta basándose en los siguientes tres gráficos estadísticos (como se muestra en la siguiente figura):
(1) ¿Qué representan los tres gráficos?
(2) ¿Qué cuadro estadístico puede mostrar los cambios en la población mundial?
(3) ¿Cuántos mil millones de personas habrá en África en 2050? ¿De qué cuadro estadístico provienen estos datos?
(4) En 2050, la población de Asia superará la población combinada de otros continentes. ¿De qué gráfico estadístico se puede sacar claramente esta conclusión?
El análisis de dichas preguntas se puede responder basándose en las características de los tres cuadros estadísticos.
(1) El gráfico de líneas muestra la tendencia cambiante de la población mundial, el gráfico de barras muestra la población de cada continente y el gráfico de abanico muestra el porcentaje de la población mundial que representa cada continente.
(2) Gráfico de estadísticas de líneas
(3) 8 mil millones, estadísticas de líneas.
(4) Gráfico estadístico de la industria
Ejercicios básicos
1 La siguiente imagen es el gráfico del sector de medallas de oro de los 27º Juegos Olímpicos. Responda las siguientes preguntas basándose en la información proporcionada en el cuadro:
(1) ¿Qué país tiene más medallas de oro?
(2) ¿Dónde se ubica China?
(3) Si fueras el entrenador en jefe del equipo chino, ¿a quién perseguirías en los próximos Juegos Olímpicos?
Respuestas de referencia
1, (1) Estados Unidos (2) No. 3 (3) Rusia.
Líneas paralelas y líneas que se cruzan
Consejos básicos
El conocimiento principal de las líneas paralelas y las líneas que se cruzan son las propiedades y el juicio de las líneas paralelas. Las preguntas que utilizan solo el juicio natural o el juicio son relativamente simples, pero no es fácil de entender cuando se usan indistintamente. A veces es difícil distinguir cuándo usar el juicio natural y cuándo. Sólo debemos recordar que debido a que es una condición, obtenemos una conclusión y luego, al comparar el teorema de propiedad y el teorema de juicio, podemos distinguirlo fácilmente.
Otro conocimiento central en esta parte es el proceso de redacción de pruebas. A veces pensamos que podemos hacerlo, pero ¿cómo escribirlo? A menudo no sabemos qué escribir primero y qué escribir después. El proceso de escribir consiste en explicar algo claramente para que otros puedan entenderlo. Podemos escribir el proceso con este propósito en mente.
Ejemplo típico
1 Hay cinco puntos en el plano, de los cuales sólo tres están en la misma recta. Si cada dos puntos se cruzan, se puede dibujar una línea recta y un * * * se dibuja como una línea recta ().
a7 b . 6 c . 9d 8
Podemos dibujar estos cinco puntos y comprobar directamente para obtener el número de líneas rectas. También podemos suponer que sólo tres puntos A, B y C están en línea recta. Los dos puntos D y E determinan tres líneas rectas con A, B y C * * 6 respectivamente. C determinan una línea recta. Los dos puntos D y E determinan una línea recta, por lo que cinco puntos * * *.
Ejemplo 2 ∠ Cama = 60, ∠ B = 40, ∠ D = 20. Demuestre: AB∨CD.
En el análisis se demuestra que dos rectas son paralelas. ¿Qué método de juicio se puede utilizar para obtener el grado de paralelismo? Se conocen las medidas de los tres ángulos, pero no son isósceles ni ángulos inscritos. Por tanto, pueden considerarse como líneas auxiliares para el establecimiento de conexiones. Usa ángulos inscritos para demostrar que las extensiones de BE son paralelas. La recta paralela AB que pasa por el punto E puede demostrar que FG y CD también son paralelos, por lo que AB∑CD puede conectar BD. Esto también puede demostrarse mediante la complementariedad de los ángulos inscritos en el mismo lado.
Desenrolle la extensión de BE-cross CD a o,
∠∠BED = 60, ∠D=20,
∴∠BOD=∠BED - ∠D=60 -20 =40,
∫∠B = 40,
∴∠BOD=∠B,
∴AB∥CD.< / p>
Otros métodos, ¡puedes probarlos tú mismo!
Como se muestra en la Figura 3, en △ABC, CE⊥AB está en e, DF⊥AB está en f, AC∨ed y CE es la bisectriz de ∠ACB.
Demuestre: ∠EDF=∠BDF.
CE∨DF también se llama AC∨ED. Se puede obtener analizando CE y DF perpendiculares a AB. Se puede obtener una conclusión utilizando la equivalencia de ángulos de dislocación interna y ángulos congruentes.
Resolver ∵CE⊥AB, DF⊥AB,
∴CE∥DF
∴∠EDF=∠DEC, ∠BDF=∠DCE,
p>
∫AC∑ED,
∴∠DEC=∠ACE,
∴∠EDF=∠ACE.
∫CE es ∝∠ La bisectriz de ACB,
∴∠DCE=∠ACE,
∴∠EDF=∠BDF.
Como se muestra en la Figura 4 , en △ABC, ∠c = 90°, y las bisectrices de ∠CAB y ∠CBA se cruzan en el punto O, encuentra el grado de ∠AOB.
El análisis muestra que ∠c = 90°, por lo que se puede ver que la suma de ∠CAB y ∠CBA es 90°. De las propiedades de las bisectrices de ángulos, se puede ver que la suma de ∠. OAB y ∠OBA son 45°, por lo que podemos obtener ∠El grado de AOB.
Solución ∫OA es la bisectriz de ∠CAB, y OB es la bisectriz de ∠CBA.
∴∠OAB= ∠CAB, ∠OBA= ∠CBA,
∴∠oab+∠oba=∠ca b+∠CBA =(∠ca b+∠CBA)=(180- ∠c)= 45
∴∠aob=180-(∠OA b+∠oba)= 135.
(Nota: ∠AOB real = 180-(∠OAB+∠OBA)= 180-(180-∠C).
=90 + ∠C.
Entonces, el grado de ∠AOB solo está relacionado con el grado de ∠C, que se puede registrar como conclusión)
Ejercicio principal
1, como se muestra en la figura, AB∑ED, α=∠A+ ∠E, β=∠B+∠C+∠D, verificación: β=2α. (Consejo: esta pregunta puede considerarse como una versión mejorada del Ejemplo 2)
2 Como se muestra en la figura, E es un punto en DF, B es un punto en AC, ∠1=∠2. ,
∠C=∠D, verificación:∠A =∠F.
Respuesta de referencia
1. BC o DC se pueden extender, BD se puede conectar y C se puede usar como línea paralela.
2.Primero BD∨CE, luego DF∨AC.
Capítulo sobre triángulos
Consejos básicos
El problema principal de la congruencia de triángulos es demostrar la congruencia. De acuerdo con los cinco métodos de juicio de congruencia, encuentre los lados y ángulos correspondientes. Preste atención a la correspondencia; de lo contrario, es fácil cometer errores. Si usas SAS para demostrar la congruencia, necesitas averiguar si los dos lados y su ángulo son equivalentes. A veces, para demostrar la congruencia, si no hay dos triángulos congruentes en la condición, es necesario construir la congruencia de manera apropiada.
Ejemplos típicos
El ejemplo 1 se muestra en la figura. En △ABC, AB=AC, D y E están en los lados de BC y AC respectivamente, y ∠1=∠B, AD=DE. Verificación: △ADB≔△dec .
Es necesario demostrar que △ADB y △DEC son congruentes y que ya existe un par de lados AD=DE. De AB=AC, sabemos que ∠B=∠C, lo que requiere un par de lados o una diagonal. A partir de la condición ∠1=∠B, es más fácil encontrar el ángulo. Por el ángulo exterior conocemos ∞.
Demuestra que ∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∫≈1 =∠B,
∴ ∠ 1=∠C,
∠∠BDA =∠DAC+∠C, ∠CED=∠DAC+∠1
∴∠BDA=∠CED.
En Banco Asiático de Desarrollo y diciembre
∴△ADB≌△DEC.
Como se muestra en la figura del Ejemplo 2, AC∨BD, EA y EB se dividen entre ∠CAB, ∠DBA y CD pasa por el punto E. Verifique: AB=AC+BD.
El análisis demuestra que existen dos métodos para AB=AC+BD. AB se puede dividir en dos segmentos, que son iguales a AC y BD respectivamente. También puedes conectar AC y BD en un segmento de línea para demostrar que son iguales a AB. El proceso de la primera forma de pensar se detalla a continuación.
Está demostrado que interceptando AF=AC en AB, conectando EF,
∵EA, no comparten ∠CAB,
∴∠CAE=∠FAE ,
En △ACE y △AFE,
∴△ACE≌△AFE(SAS),
∴∠C=∠AFE.
∫AC∨BD,
∴∠C+∠D=180,
∵∠AFE+∠BFE=180,
∴∠BFE=∠ D .
∫EB divide a ∠DBA,
∴∠FBE=∠DBE
En △BFE y △BDE,
∴ △ BFE≌△BDE(AAS),
∴BF=BD.
∫AB = AF+BF,
∴AB=AC+BD.
p>
Ejemplo 3: Como se muestra en la figura, BD y CE son las alturas de los lados AC y AB de △ABC respectivamente. El punto P está en la línea de extensión de BD, BP=AC, el punto Q está en CE y CQ=AB. Verificación: (1) AP = AQ; (2) AP⊥AQ.
Al analizar y observar el triángulo donde se ubican AP y AQ, obviamente es necesario demostrar que △ABP y △QCA son congruentes . Está demostrado que AP=AQ congruente se puede obtener directamente, y ∠ ADP = 90 se puede obtener mediante sustitución equivalente entre ángulos.
Se demuestra que (1)∵BD y CE son las alturas del lado AC y del lado AB de △ABC respectivamente.
∴∠AEC=∠ADB=90,
∴∠ABP+∠BAC=∠QCA+∠CAB=90,
∴∠ABP=∠QCA
En △Base del Cuartel General y △QCA.
∴△ABP≌△QCA(SAS),
∴AP=AQ.
(2) De (1)△ABP≔△QCA,
∴∠P=∠QAC,
∫∠P+∠PAD = 90,
∴∠QAC+∠PAD=90,
∴AP⊥AQ.
Ejercicios básicos
1 Como se muestra en la figura, en △ABC, AB=BC=CA, CE=BD, entonces ∠AFE = _ _ _. _grado .
2. Como se muestra en la figura, en △ABC, ∠ BAC = 90 AB = AC. d es el punto medio de AC, AE⊥BD, y el pie vertical es e. La extensión de AE a BC es f.
Respuesta de referencia
1, 60
2 Consejo: Si la bisectriz de ∠BAC pasa por BD hasta P, primero puedes probar que △ABP≔. △CAF, prueba nuevamente que △APD≔△CFD.
Elementos axisimétricos en la vida
Consejos básicos
Los temas centrales de la simetría axial son la simetría axial y los triángulos isósceles. Para problemas de simetría axial, es necesario dibujar puntos y figuras simétricas y encontrar el camino más corto a través de los puntos de simetría. Los lados de un triángulo isósceles son iguales y las tres líneas se fusionan en una. Es fácil de recordar pero, lo que es más importante, es más importante de usar. A veces tendemos a ignorar la aplicación de las propiedades.
Ejemplos típicos
Ejemplo 1 Determina si cada conjunto de figuras a continuación es simétrico con respecto a una línea recta.
Solución analítica Con base en la definición y las propiedades de la simetría axial, una observación cuidadosa revela que (1) es incorrecta y (2) es axialmente simétrica.
Ejemplo 2 Entre las siguientes figuras, la que tiene mayor número de ejes de simetría es ()
A. Cuadrado b. Triángulo isósceles d. >
E. Triángulo equilátero f. Ángulo g. Segmento h. Círculo I. Pentagrama regular
Análisis y solución Hay un eje de simetría C, D, F, G, tres ejes de simetría. E, cuatro El eje de simetría A, los dos ejes de simetría B, los cinco ejes de simetría I y los innumerables ejes de simetría h.
Como se muestra en la Figura 3, AOB es una estructura de acero, ∠ AOB = 10. Para fortalecer la estructura de acero, es necesario agregar algunos tubos de acero EF, FG, GH... La longitud de los tubos de acero agregados es igual a OE, por lo que como máximo se pueden agregar dichos tubos de acero.
Al analizar que la longitud del tubo de acero agregado es igual a OE, se puede observar que cada vez que se agrega un tubo de acero, se agrega un triángulo isósceles. Al analizar el segmento vertical más corto de todos los segmentos de línea desde el punto hasta la línea recta, cuando la tubería de acero agregada es perpendicular a OA u OB, no se puede agregar.
Solución: Cada vez que se añade un tubo de acero se forma un ángulo de sol. Por ejemplo, si suma EF para formar el ángulo exterior ∠FEA, agregue FG para formar el ángulo exterior ∠GFB. Estas reglas se pueden encontrar en la lista:
Aumento del número de tubos de acero
1
2
Tres
Cuatro
…
Ocho
El ángulo externo formado por cuatro
20
30
40
50
…
90
Cuando el ángulo externo formado es de 90°, 8 tubos de acero de este tipo Se han agregado , no se pueden agregar más, por lo que se pueden agregar hasta 8 tubos de acero de este tipo.
Xiao Ming aprovechó sus vacaciones de verano para ir a la casa de su abuelo en las montañas.
Todos los días, su abuelo lleva a Xiao Ming a pastorear ovejas. Por la mañana, salió de casa para pastar las ovejas en el pasto. Antes de que oscureciera, llevó a las ovejas a un pequeño río para beber agua y luego se fue a casa. Como se muestra en la imagen, el punto A representa la casa de su abuelo, el punto B representa el pasto y la línea recta L representa el arroyo. ¿Ayuda a Xiao Ming y a su abuelo a diseñar un plan que les permita caminar la distancia más corta todos los días?
Se ha determinado la distancia entre A (casa del abuelo) y B (pradera). Solo necesitamos descubrir cómo minimizar la distancia de B a L (río) y luego a A. Debido a que A y B están en el mismo lado de L, no es fácil determinar directamente la ubicación del punto de agua potable (punto C). En este problema, puedes usar la propiedad de simetría axial para transformar el punto A al otro lado del río y establecerlo en A’. No importa dónde esté el agua potable, el punto A es simétrico a ella.
Como se muestra en la figura, el punto C es la ubicación del agua potable.
Ejercicios básicos
Utiliza 1 triángulo isósceles, 2 rectángulos y 3 círculos para diseñar una figura axialmente simétrica en el cuadro a continuación y explica tu creatividad.
2. Como se muestra en la figura, AB=AC, D es el punto medio de BC, DE=DF, BC∑EF. ¿Es esta figura axialmente simétrica? ¿Por qué?
Respuesta de referencia
1, omitida
2 Es una figura axisimétrica. Los ejes de simetría de △ABC y △DEF pasan por el punto D y son. perpendicular a BC, por lo que los dos ejes de simetría son la misma línea recta.
Al practicar estas preguntas centrales, si puedes sacar inferencias de un caso y ser flexible, no solo podrás ahorrar mucho tiempo y energía, sino que también podrás lograr resultados significativos.