La historia del desarrollo de permutaciones y combinaciones.
Al mismo tiempo, las personas tienen un profundo conocimiento e investigación de los números. En el proceso de formación de varias ramas de las matemáticas estrechamente relacionadas con las formas, como la formación y el desarrollo de la geometría, la topología y la teoría de categorías, la diversidad de formas numéricas se descubrió gradualmente a partir de la diversidad de formas y se produjeron varios tipos de formas numéricas. . Habilidad. La teoría de conjuntos y la lógica matemática modernas reflejan la unión subyacente entre número y forma. Sin embargo, la topología algebraica y la geometría algebraica modernas vinculan estrechamente los números con las formas. Todo esto ha tenido y seguirá teniendo un profundo impacto en la formación y desarrollo de la combinatoria moderna, que se centra en las habilidades numéricas.
Desde esta perspectiva, la combinatoria está estrechamente relacionada con otras ramas de las matemáticas. Algunos de sus contenidos y métodos de investigación provienen de diversas ramas y también se aplican a diversas ramas. Por supuesto, la combinatoria, al igual que otras ramas de las matemáticas, tiene sus propios problemas y métodos de investigación únicos, que se originan en el descubrimiento y la comprensión por parte de las personas de los números y las formas en el mundo objetivo y sus relaciones. Por ejemplo, el antiguo "Libro de los cambios" chino utiliza diez tallos celestiales y doce ramas terrestres para registrar los meses y años con un ciclo de 60, y el "Mapa del río Luoshu" registra el cubo de Rubik. Este es el primer problema de combinación descubierto. e incluso el contextualismo arquitectónico.
Durante los siglos XI y XII, Jia Xian descubrió el coeficiente binomial, que Yang Hui registró en su libro "Continuación de los métodos antiguos de búsqueda de diferencias". Esto es lo que comúnmente se conoce como el Triángulo Yang Hui en China. De hecho, en el siglo XII, este número combinado también fue descubierto por el segundo Bashigaroo de la India. Este triángulo fue enseñado por los filósofos persas en el siglo XIII. En Occidente, Blaise Pascal descubrió el triángulo a mediados del siglo XVII. Este triángulo también se utiliza habitualmente en otras ramas de las matemáticas. Al mismo tiempo, tanto Pascal como Fermat descubrieron muchos resultados de la combinatoria clásica relacionados con la teoría de la probabilidad. Por tanto, los occidentales creen que la combinatoria comenzó en el siglo XVII. El término combinatoria fue utilizado por primera vez en sentido matemático por el matemático alemán Leibniz. Quizás, en ese momento, tuvo una premonición de su futuro y vigoroso desarrollo. Sin embargo, no fue hasta la época de Euler en el siglo XVIII que la combinatoria comenzó a desarrollarse como ciencia, pues en esa época resolvió el problema de los siete puentes de Königsberg y descubrió la relación entre el número de vértices, aristas y caras de un poliedro. (principalmente en el caso de poliedros convexos, es decir, gráficos planos), esto se conoce como fórmula de Euler. De hecho, lo que hoy se llama el creador del ciclo hamiltoniano debería ser Euler. Todo esto convirtió a Euler no sólo en una parte importante de la teoría combinatoria de grafos, sino también en un pionero en el desarrollo de la topología, que ocupó el centro del escenario de las matemáticas modernas. Al mismo tiempo, su conjetura sobre otro componente importante de la combinatoria: el cuadrado latino en el diseño combinatorio, se llamó conjetura de Euler y no se resolvió por completo hasta 1959.
A principios del siglo XIX, el coeficiente de combinación propuesto por Gauss (ahora llamado coeficiente de Gauss) también jugó un papel importante en la combinatoria clásica. Al mismo tiempo, también estudió la intersección de curvas cerradas en el plano. La conjetura que propuso se llamó conjetura de Gauss y no se resolvió hasta el siglo XX. Esta cuestión contribuye no sólo a la topología sino también al desarrollo de la teoría de grafos en combinatoria. En el siglo XIX, la rama descubierta por George Boole y conocida hoy como álgebra de Boole se convirtió en la piedra angular de la teoría del orden en combinatoria. Por supuesto, durante este período se estudiaron muchos otros problemas combinatorios, la mayoría de los cuales fueron entretenidos.
A principios del siglo XX, Poincaré desarrolló los conceptos y métodos de la combinatoria basados en el problema de los poliedros, permitiendo así que la topología moderna se desarrollara desde la topología combinatoria hasta la topología algebraica. A mediados y finales del siglo XX, el rápido desarrollo de la combinatoria puede resultar inesperado. Primero, en 1920, Fisher (r.a.) y Yates (f.) desarrollaron la teoría estadística del diseño experimental, que condujo a la posterior formación y desarrollo de la teoría de la información, especialmente la teoría de la codificación. En 1939, Kantorovich (канн) y en 1947, Dant Zig (g. b.) presentaron el modelo y la teoría de programación lineal general. El método simplex que fundó sentó las bases de esta teoría y elaboró su solución. A día de hoy, sigue siendo uno de los métodos matemáticos más utilizados.
Estos, a su vez, han conducido a la formación y desarrollo de una serie de problemas en la investigación de operaciones representados por el flujo de red. Abrió una nueva rama de la combinatoria, actualmente llamada optimización combinatoria. En la década de 1950, China también descubrió y resolvió un método de operación gráfica llamado programación lineal para problemas de transporte, que es similar a la teoría general del flujo de redes. Sobre esta base surgió el problema del cartero chino, de renombre internacional.
Por otro lado, desde 1940, el británico Tutte (w.t.) ha logrado una serie de resultados en teoría de grafos para resolver este difícil problema, que no sólo abrieron muchos aspectos del desarrollo de la gráfica. La teoría es un nuevo campo de investigación y jugó un papel central en el desarrollo de la teoría matroide y la geometría combinatoria propuestas por Whitney (h.) en la década de 1930. Cabe mencionar especialmente que durante este período, con el desarrollo de la tecnología electrónica y la informática, se reveló cada vez más el poder potencial de la combinatoria. Al mismo tiempo, también propone muchos nuevos temas de investigación para el desarrollo de la combinatoria. Por ejemplo, el diseño asistido por computadora centrado en el diseño de circuitos integrados a gran y muy gran escala plantea innumerables problemas. La investigación y el desarrollo de algunos de estos problemas están dando lugar a una nueva geometría llamada geometría computacional combinatoria. En cuanto a la complejidad de los algoritmos, desde que Cook (S.A.) propuso la teoría de la completitud NP en 1961, esta idea ha penetrado en todas las ramas de la combinatoria e incluso en algunas ramas de las matemáticas y la informática.
En los últimos 20 años, e incluso en todo el campo de las matemáticas, algunos problemas desafiantes se han resuelto mediante métodos combinatorios. Por ejemplo, van der Waerden (B.L.) propuso una prueba de la conjetura de la suma del producto de la matriz aleatoria doble en 1926; Heawood (, P.J.) propuso una solución a la conjetura de coloración del mapa de curvas en 1890 y la verificación por computadora del famoso teorema de los cuatro colores; Descubrimiento de nuevas invariantes combinatorias para problemas de retorcimiento. En matemáticas, se han formado o se están formando materias interdisciplinarias estrechamente relacionadas con la combinatoria, como la topología combinatoria, la geometría combinatoria, la teoría combinatoria de números, la teoría combinatoria de matrices y la teoría combinatoria de grupos. Además, la combinatoria ha penetrado en todos los aspectos de otras ciencias naturales y sociales, como la física, la mecánica, la química, la biología, la genética, la psicología, la economía, la gestión e incluso las ciencias políticas.
Según el estado actual de investigación y desarrollo de la combinatoria, se puede dividir en las siguientes cinco ramas: combinatoria clásica, diseño combinatorio, orden combinatorio, gráficos e hipergráficos, y poliedro combinatorio y optimización. Dado que la combinatoria involucra casi todas las ramas de las matemáticas, establecer una teoría unificada puede ser tan imposible como las matemáticas mismas. Sin embargo, en el siglo XX será de gran importancia cómo establecer algunas teorías unificadas basadas en las cinco ramas anteriores, o formar algunas nuevas ramas de las matemáticas independientemente de la combinatoria. Entre los matemáticos chinos contemporáneos, Hua, Wu Wenjun, Ke Zhao, Wan Zhexian y Lu Jiaxi han hecho contribuciones tempranas en diferentes campos de la combinatoria. Entre ellos, el trabajo sistemático de Wan Zhexian y su grupo de investigación sobre geometría finita no sólo tuvo un impacto en el diseño de combinaciones, sino también en el estudio de la simetría gráfica. La serie de artículos de Lu Jiaxi sobre conjuntos triples disjuntos de Steiner no sólo resolvió un problema difícil en el diseño combinatorio, sino que el método que creó también fue útil para investigadores posteriores.
En 1772, el matemático francés Vandermonde (A.-T.) utilizó [n]p para representar el número de permutaciones de p tomadas de n elementos diferentes al mismo tiempo.
El matemático suizo Euler (l.) utilizó 1771 y 1778 para representar el número de combinaciones de P elementos de N elementos diferentes.
En 1830, el matemático británico Peacock (G) introdujo el símbolo Cr para representar el número de combinaciones de R en n elementos al mismo tiempo.
En 1869 o antes, Goodwin de Cambridge utilizó el símbolo nPr para representar el número de permutaciones de R elementos extraídos de N elementos a la vez. Este uso continúa hasta el día de hoy. Según este método, nPn es equivalente a n! .
En 1872, el matemático alemán B. A. von introdujo el símbolo (np) para expresar el mismo significado, y esta combinación de símbolos (el signo de la combinación) todavía se utiliza en la actualidad.
En 1880, Potts (R.) expresó el número de combinaciones y permutaciones de R en N elementos utilizando nCr y nPr respectivamente.
En 1886, Whit-worth (a.w.) usó Cnr y Pnr para significar lo mismo, y también usó Rnr para significar el número de combinaciones repetibles.
En 1899, la matemática y física británica Chrystal, g. usó nPr y nCr para representar el número de permutaciones y combinaciones de R elementos no repetidos extraídos de N elementos diferentes al mismo tiempo, y usó nHr. para representar el número de permutaciones repetibles en el mismo sentido. Estos tres símbolos todavía se utilizan comúnmente en la actualidad.
En 1904, el matemático alemán Netto (e.) compiló un diccionario enciclopédico, en el que Arn representa el nPr anterior, Crn representa el nCr anterior y este último también está representado por el símbolo (n r). Estos símbolos también se utilizan en los tiempos modernos.
Además, en Bagua también se utiliza en permutaciones y combinaciones.