Preguntas sobre paradojas matemáticas.

Los conjuntos se pueden dividir en dos categorías: las características de la primera categoría son: el conjunto en sí es un elemento del conjunto, como lo que se solía decir en la época: "el conjunto compuesto por todos los conjuntos "; las características de la segunda categoría son: Es un elemento del conjunto en sí que no es un conjunto, como por ejemplo un conjunto de puntos en una línea recta. Obviamente, un conjunto debe ser uno y sólo uno de estos dos tipos de conjuntos. Ahora suponemos que R es el conjunto de todos los conjuntos de segunda clase. Entonces, ¿qué tipo de conjunto es R?

Paradoja de Russell

Si R es del primer tipo, R es su propio elemento, pero por definición, R sólo consta de conjuntos del segundo tipo, por lo que R también es del primero. kind. Un conjunto de tipo II; si R es un conjunto de tipo II, entonces, según la definición de R, R debe ser un elemento de R, por lo que R también es un conjunto de tipo I. De todos modos estoy en un dilema y no puedo dar una respuesta. Esta es la famosa "Paradoja de Russell".

Ejemplo de la paradoja de Russell

Ejemplo de la paradoja de Russell

Hay una historia en el mundo de la obra maestra de la literatura "Don Quijote":

Sancho Panza, siervo de Don Quijote, huyó a una isla y se convirtió en rey de la isla. Hizo una ley extraña: todo el que llega a la isla debe responder una pregunta: "¿Qué haces aquí?" Si la respuesta es correcta, que vaya a la isla a jugar, si la respuesta es incorrecta, que vaya a la isla. la isla para jugar. Para todos los que vienen a la isla, o se divierten o se ahorcan. ¿Cuánta gente se atreve a arriesgar su vida para jugar en esta isla? Un día llegó un hombre valiente. Como de costumbre, le hicieron esta pregunta, y la respuesta del hombre fue: "Vine a ahorcarme". ¿Sancho Panza lo dejará jugar en la isla o lo ahorcará? Si se le debería permitir jugar en la isla, esto es inconsistente con lo que quiere decir con "colgar", es decir, lo que quiere decir con "colgar" está mal. Como se equivocó, deberían ahorcarlo. Pero ¿y si Sancho Panza quisiera ahorcarle? En este momento, lo que dijo sobre "ser ahorcado" es factual y correcto. Como respondió correctamente, no deberían ahorcarlo, pero deberían permitirle jugar en la isla. El rey de esta isla descubrió que sus leyes no se podían hacer cumplir porque, sin importar cómo se hicieran, serían destruidas. Pensó y pensó, y finalmente pidió a los guardias que lo dejaran ir, declarando inválida la ley. Esta es otra paradoja.

La paradoja propuesta por el famoso matemático Bertrand Russell (Russel, 1872-1970) es similar:

Hay un barbero en una determinada ciudad, y en su anuncio se lee: "Mi barbería Las habilidades son bien conocidas en toda la ciudad. ¡Afeitaré a todas las personas de esta ciudad que no se afeitan solas! ¡Les doy una cálida bienvenida a todos! "La gente viene a él para afeitarse, naturalmente. es alguien que no se afeita. Sin embargo, un día el barbero vio en el espejo que le había crecido la barba. Instintivamente agarró la navaja. ¿Crees que puede afeitarse solo? Si no se afeita, entonces es un "no afeitado" y tiene que afeitarse. ¿Y si se afeitara? Es un "autoafeitador" y no debería afeitarse solo.

La paradoja de Barber y la paradoja de Russell son equivalentes;

Porque, si todos son considerados como un conjunto, entonces los elementos de este conjunto se definen como la persona Objeto afeitado. El barbero luego afirmó que sus elementos eran todas las colecciones del pueblo que no le pertenecían, todas las colecciones del pueblo que no le pertenecían. ¿Se pertenece entonces a sí mismo? De esto, la paradoja de Russell se deriva de la paradoja de Barbour. Lo mismo ocurre con la transformación inversa.

La paradoja del mentiroso y el ciclo del mentiroso son paradojas estrechamente relacionadas con las expresiones del lenguaje natural, que involucran conceptos semánticos como verdad y falsedad, definiciones, nombres, significados, etc., que se denominan "paradojas semánticas". Hay muchos ejemplos de paradojas semánticas. Es muy interesante la "paradoja de K.Grelling)-L.Nelson", que está relacionada con la aplicación de los adjetivos:

Los adjetivos se dividen en dos categorías, una se llama “autorreferencial”, es decir, ser fiel a uno mismo. Por ejemplo, el adjetivo "polisílabo" en sí es polisilábico y "inglés" en sí es inglés. Todo autorreferencial. El otro se llama “qué dice”, que es no ser fiel a uno mismo y ser infiel a uno mismo. Por ejemplo, el adjetivo "monosilábico" tiene este significado, porque esta palabra no es una palabra monosilábica; "inglés" también tiene este significado, porque esta palabra es china, no inglesa; La pregunta es: ¿el adjetivo “se refiere a” significa a qué se refiere?

El resultado es: si dice lo que dice, se llegará a la conclusión de que lo que dice no es lo que dice, y viceversa. Conduce a la autocontradicción.

Paradojas y axiomáticas de la teoría de conjuntos

Otro tipo de paradoja involucra la teoría de conjuntos en matemáticas, conocidas como "paradojas matemáticas" o "paradojas teóricas de conjuntos". La teoría de conjuntos fue fundada por el matemático alemán Cantor en las décadas de 1870 y 1880. Se basa en una visión infinita: el "infinito real". El llamado "infinito real" significa tratar el "infinito" como una entidad conceptual completa. Por ejemplo, en teoría de conjuntos, n = {n: n es un número natural} se utiliza para representar el conjunto de todos los números naturales.

Cabe señalar que en el desarrollo de las matemáticas durante miles de años antes, predominó otra visión del infinito, a saber, el concepto de "potencial infinito" defendido por el antiguo filósofo griego Aristóteles. El llamado "infinito potencial" significa tratar el "infinito" como un proceso que está en constante desarrollo y que nunca podrá completarse. Por ejemplo, piense en los números naturales como una secuencia infinita de 1, 2, 3,...,n,... eso es todo.

La teoría de conjuntos supone un cambio revolucionario en los conceptos y métodos matemáticos. Debido a que es muy conveniente explicar viejas teorías matemáticas y desarrollar nuevas teorías matemáticas, muchos matemáticos lo han aceptado gradualmente. Sin embargo, poco después de que Cantor fundara la teoría de conjuntos, él mismo también descubrió este problema: la "paradoja de Cantor" en 1899, también conocida como la "paradoja de la cardinalidad máxima". Al mismo tiempo, también se descubrieron otras paradojas teóricas de conjuntos, siendo la más famosa la "Paradoja de Russell" en 1901:

Los conjuntos se dividen en dos categorías. Cualquier conjunto que no se tenga a sí mismo como elemento es. llamado conjunto regular (por ejemplo, el conjunto de números naturales n en sí mismo no es un número natural, por lo que n es un conjunto normal. Cualquier conjunto que tenga a sí mismo como elemento se llama conjunto de excepción. (Por ejemplo, todos los conjuntos no biológicos f no son seres vivos, por lo que f es un conjunto anormal.) Cada conjunto no es Un conjunto normal es un conjunto anormal Supongamos que v es el conjunto de todos los conjuntos normales, es decir, v = {x: x? V, porque V es el conjunto de todos los conjuntos normales, entonces el conjunto normal V∈V, pero esto significa que V no es un conjunto normal, sino un conjunto no normal, por otro lado, si V no es un conjunto normal; , pero un conjunto no normal Conjunto normal, entonces se puede saber por la definición de conjunto no normal que V∈V, lo que significa que V es un elemento del conjunto V compuesto por todos los conjuntos normales, por lo que V debería ser un conjunto normal.

La paradoja de Russell revela una cruda verdad: la teoría de conjuntos contiene contradicciones lógicas, si las matemáticas se basan en la teoría de conjuntos, causarán profundas grietas en los cimientos del edificio matemático, e incluso pueden derribarlos. Todo el edificio de una sola piedra, estalló un debate sobre cuestiones básicas de las matemáticas.

En este debate, la escuela intuicionista más radical, representada por el matemático holandés Brouwer, adoptó un enfoque completamente negativo hacia la teoría de conjuntos. actitud de que el concepto de "infinito real" es la fuente de paradojas en la teoría de conjuntos. Por el contrario, otros matemáticos se han embarcado en el camino de la mejora, tratando de hacer las correcciones apropiadas a la teoría de conjuntos para evitar paradojas en este sentido. es la teoría de conjuntos axiomática, que se ha convertido en una rama importante de las matemáticas modernas. La teoría de conjuntos axiomática utiliza métodos axiomáticos para describir conjuntos y sus operaciones, modificando el "principio de generalización" en la teoría de conjuntos de Cantor: todos los objetos que satisfacen la propiedad P pueden formar un. conjunto S, es decir, S = {x: P(x)}, donde P(x) significa "X tiene la propiedad P. Esto confirma que cualquier propiedad puede determinar un conjunto, entonces los mencionados F y V se convierten en un conjunto". , y surge la paradoja.

En el sistema ZF de teoría axiomática de conjuntos, el principio de generalización se reemplaza por el siguiente "principio de separación": si C es un conjunto, entonces aquellos elementos en C que satisfacen la propiedad P. constituir un conjunto S = {x: x ∈ C, P (x)}, es decir, bajo la premisa de que C es un conjunto, cualquier propiedad puede determinar un Subconjunto. El resultado de la axiomatización es que solo los conjuntos normales pueden convertirse en conjuntos. los conjuntos anormales no pueden, F y V no son conjuntos, y la paradoja de Russell y otras paradojas de la teoría de conjuntos pueden evitarse.

En lo que respecta a la teoría de conjuntos axiomática, tiene éxito en términos de evitar las paradojas existentes. Desafortunadamente, la gente no puede probar la compatibilidad del sistema de teoría de conjuntos axiomático, es decir, no puede probar que no existirán contradicciones lógicas en el sistema. Las matemáticas modernas requieren el uso del "axioma de elección", pero esto conducirá a algunas teorías contraintuitivas (como la "teoría de los esferoides"). Por lo tanto, es necesario discutir más a fondo el tratamiento de la teoría axiomática de conjuntos, especialmente el uso del axioma de elección.

Algunas discusiones en profundidad sobre las paradojas

El descubrimiento de la paradoja de Russell también promovió un pensamiento profundo sobre las causas de las paradojas (incluidas las paradojas semánticas). Durante 1905-1906, Poincaré llegó a la conclusión de que el origen de la paradoja radica en la definición de predicados indirectos en matemáticas y lógica. La llamada definición indirecta se refiere a definir un concepto (u objeto) con la ayuda de un todo, y el concepto (u objeto) en sí pertenece a este todo. Esta definición es circular (lo que Russell llamó un "círculo vicioso") o "egoísta". Por ejemplo, este es el caso del conjunto de excepciones "todos los seres no vivos del conjunto F". Porque F se define como el conjunto de "todos los seres no vivos", y F en sí es miembro de este todo. Al examinar las paradojas semánticas, también se encontrarán rastros de "circulación" o "implicación en uno mismo" similares. Por ejemplo, el "ciclo del mentiroso" se refiere a la circulación de las palabras de dos personas, A y B, mientras que las definiciones de "autorreferencial" y "otro-predicativo" en la paradoja de Glenn-Nelson implican la verdad o falsedad de adjetivos.

En 1931, Tarski propuso la teoría de los "niveles del lenguaje" en su artículo "El concepto de verdad en los lenguajes formales". Aunque esta teoría está dirigida principalmente a los lenguajes formales, también es de gran importancia para el estudio de las paradojas semánticas en los lenguajes cotidianos. Tarski argumentó que el lenguaje ordinario es semánticamente cerrado: contiene tanto expresiones lingüísticas como declaraciones que establecen las propiedades semánticas de estas expresiones lingüísticas (como "verdadero" y "falso"). Ésta es la fuente de la paradoja semántica.

Para establecer una definición adecuada de una "oración verdadera" que sea sustancial y formalmente correcta, es necesario tratar el lenguaje en capas: la oración en cuestión pertenece a un cierto nivel del lenguaje (llamado "lenguaje objeto"), mientras que la oración declarativa Las oraciones de carácter semántico pertenecen a un lenguaje de nivel superior (llamado “metalenguaje”). La “paradoja del mentiroso” se produce por confundir los niveles del lenguaje al afirmar la propia verdad.

En 1975, el famoso lógico contemporáneo S.A. Kripke propuso una nueva solución a la paradoja en el artículo "Esquema de la teoría de la verdad". Uno de los conceptos centrales es el de "raíz": para juzgar un enunciado con un predicado de verdad ("verdadero" o "falso"), es necesario encontrar la "raíz" del enunciado, el enunciado correspondiente sin un predicado de verdad. Por ejemplo, para determinar si la oración "El agua es incolora y transparente" es verdadera o falsa, necesitamos ver si la oración "El agua es incolora y transparente" es correcta. La última oración no contiene un predicado de verdad, por lo que puedes juzgar si es correcta o incorrecta. Entonces la oración anterior tiene raíces. Sólo las oraciones con raíces pueden juzgarse como verdaderas o falsas, pero las oraciones sin raíces no. Tanto la "paradoja del mentiroso" como el "ciclo del mentiroso" carecen de raíces, que es la característica básica de las paradojas.

La investigación reciente sobre paradojas ha estado influenciada por la semántica situacional. Los lógicos lingüistas han notado que muchas paradojas semánticas no solo están relacionadas con la semántica, sino también estrechamente relacionadas con factores pragmáticos como el contexto del habla (incluido el usuario del lenguaje). Tomemos como ejemplo la “paradoja del mentiroso”. Cuando una persona dice "estoy mintiendo", está expresando una afirmación de que la afirmación es verdadera en un contexto determinado. Pero la afirmación "estoy mintiendo" es falsa, simplemente no puede expresarse en el mismo contexto ni en otro contexto. Por lo tanto, la raíz de la paradoja no reside en la "autoimplicación" sino en diferentes contextos. Mientras se aclare el contexto de cada frase, muchas de las llamadas "paradojas" dejan de ser paradojas reales.