¿Alguien puede decirme qué son las matemáticas del caos? No tengo ni idea...

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¿Qué son las matemáticas del caos?

Para comprender cómo se concilia la imprevisibilidad con el determinismo, podemos observar un sistema mucho menos importante que el universo entero: una gota de agua de un grifo. Este es un sistema determinista. En principio, el flujo de agua que entra al grifo es estable y uniforme, y lo que sucede cuando el agua sale está completamente determinado por las leyes del movimiento del fluido. Pero un experimento simple pero efectivo demuestra que este sistema aparentemente determinista puede producir comportamientos impredecibles. Esto nos lleva a una especie de "pensamiento lateral" matemático que explica por qué suceden cosas tan extrañas.

Si abres el grifo con cuidado y esperas unos segundos, cuando el caudal se estabilice, normalmente se producirán una serie de gotas regulares de agua que caen a un ritmo regular y en el mismo intervalo de tiempo. Sería difícil encontrar algo más predecible. Pero si abres lentamente el grifo para aumentar el flujo de agua y lo ajustas, un chorro de gotas de agua caerá en un patrón muy irregular que parece aleatorio. Sólo se necesitan algunos experimentos para tener éxito. Gire el grifo de manera uniforme durante el experimento. No lo abras demasiado para que el agua se convierta en un chorro constante. Lo que necesitas es un goteo de ritmo medio. Si lo sintonizas correctamente, puedes pasar muchos minutos sin escuchar ningún patrón obvio.

Del año 65438 al 0978, un grupo de jóvenes estudiantes de posgrado de la Universidad de California en Santa Cruz formaron un equipo para estudiar sistemas dinámicos. Cuando empezaron a pensar en el tiempo del sistema de goteo, se dieron cuenta de que no era tan irregular como parecía. Utilizaron micrófonos para registrar el sonido de las gotas de agua y analizaron la secuencia de intervalos entre cada gota y la siguiente. Lo que demuestran es previsibilidad a corto plazo. Si te digo el tiempo de caída de tres gotas de agua consecutivas, puedes predecir el tiempo de caída de la siguiente gota de agua. Por ejemplo, si los últimos tres intervalos entre gotas fueron 0,63 segundos, 1,17 segundos y 0,44 segundos, puede estar seguro de que la siguiente gota caerá 0,82 segundos después (estos números son solo a modo de ilustración). De hecho, si supieras el momento exacto en que cayeron las tres primeras gotas de agua, podrías predecir el futuro de todo el sistema.

Entonces, ¿por qué se equivoca Laplace? El problema es que nunca podremos medir con precisión el estado inicial de un sistema. Las mediciones más precisas que hacemos en cualquier sistema físico son correctas con una precisión de aproximadamente 10 o 12 decimales. Pero la afirmación de Laplace sólo es cierta si hacemos mediciones con una precisión infinita (es decir, un número infinito de decimales, lo cual, por supuesto, es imposible). Este error de medición ya era conocido en la época de Laplace, pero en general se creía que siempre que se tomara una medición inicial, digamos con 10 decimales, todas las predicciones posteriores tendrían una precisión de 10 decimales. El error ni desaparece ni crece. Desafortunadamente, los errores se amplifican, lo que hace imposible encadenar una serie de pronósticos a corto plazo para obtener un pronóstico que funcione a largo plazo. Por ejemplo, supongamos que conozco el tiempo de goteo de las primeras tres gotas de agua con una precisión de 10 decimales, entonces puedo predecir el tiempo de goteo de la siguiente gota de agua con una precisión de 9 decimales, la precisión de la siguiente la gota de agua tiene 8 decimales, y así sucesivamente. El error aumentaba casi 10 veces con cada paso y perdí la confianza en más decimales. Entonces, 10 pasos hacia el futuro, no tengo idea de cuándo caerá la próxima gota de agua. (El número exacto de dígitos puede variar: puede hacer que cada 6 gotas pierda 1 decimal de precisión, pero con solo 60 gotas, vuelve a ocurrir el mismo problema).

Esta amplificación de error es una falla lógica destrozó la teoría completamente determinista de Laplace. Es imposible perfeccionar toda la medida. Si podemos medir el tiempo de caída con 100 decimales, nuestras predicciones quedarán invalidadas cuando se alcancen 100 gotas (o, más optimistamente, 600 gotas) en el futuro. Este fenómeno se conoce como "sensibilidad a las condiciones iniciales" o, más coloquialmente, "efecto mariposa" (el batir de las alas de una mariposa en Tokio puede provocar un huracán en Florida un mes después). Estrechamente relacionado con conductas altamente irregulares. Por definición, todo lo que es verdaderamente regular es completamente predecible. Pero la sensibilidad a las condiciones iniciales hace que el comportamiento sea impredecible y, por tanto, irregular.

Por tanto, los sistemas que son sensibles a las condiciones iniciales se denominan sistemas caóticos. El comportamiento caótico satisface las leyes del determinismo, pero es tan irregular que parece caótico al ojo inexperto. El caos no es sólo una forma compleja de comportamiento amodal, sino también más sutil. El caos es un comportamiento aparentemente complejo y sin patrones que en realidad tiene una explicación simple y determinista.

El descubrimiento del caos fue realizado por muchas personas (demasiadas para enumerarlas aquí). Su surgimiento fue la convergencia de tres desarrollos independientes. El primero es el cambio de enfoque científico, desde modelos simples (como ciclos repetidos) a modelos más complejos. El segundo es el ordenador, que nos permite encontrar soluciones aproximadas a las ecuaciones dinámicas de forma rápida y sencilla. La tercera es una nueva perspectiva matemática de la dinámica: una perspectiva geométrica más que numérica. El primer avance proporciona motivación, el segundo avance proporciona tecnología y el tercer avance proporciona comprensión.

La geometrización de la dinámica se originó hace unos 100 años. El matemático francés Henri Poincaré fue un hombre independiente (si es que alguna vez lo hubo), pero fue tan brillante que muchas de sus ideas se volvieron ortodoxas casi de la noche a la mañana. En ese momento inventó el concepto de espacio de fases, un espacio matemático ficticio que representa todos los movimientos posibles de un sistema dinámico determinado. Como ejemplo no mecánico, consideremos la dinámica poblacional de un ecosistema depredador-presa. En este sistema, el depredador es un cerdo y la presa es una trufa (un hongo extraño y picante). Las variables de interés son los dos tamaños de población: el número de cerdos y el número de trufas (ambos en relación con un valor de referencia, como 10.000). Esta elección en realidad hace que las dos variables sean continuas, es decir, toma valores reales con decimales en lugar de valores enteros. Por ejemplo, si el número de cerdos de referencia es 10.000, entonces 17.439 cerdos corresponden a un valor de 0,017439. Ahora bien, el crecimiento natural de las trufas depende del número de trufas y del ritmo al que los cerdos comen las trufas: el crecimiento de los cerdos depende del número de cerdos y del número de trufas que comen los cerdos. Entonces, la tasa de cambio de cada variable depende de estas dos variables, y podemos centrar nuestra atención en las ecuaciones diferenciales de la dinámica de grupos. No enumeraré las ecuaciones, porque la clave aquí no son las ecuaciones, sino lo que haces con ellas.

Estas ecuaciones determinan en principio cómo cambiará cualquier valor de población inicial con el tiempo. Por ejemplo, si comenzamos con 17439 cerdos y 788444 trufas, luego introduces un valor inicial de 0,017439 para la variable cerdo y un valor inicial de 0,788444 para la variable trufa, la ecuación implícitamente te dirá cómo cambiarán estos números. Lo difícil es dejar clara esta implicación: resolver la ecuación. ¿Pero en qué sentido resuelves esta ecuación? La reacción natural de un matemático clásico es encontrar una fórmula que nos diga exactamente cuál será el número de cabezas de cerdo y de cepas en cualquier momento. Desafortunadamente, tales "soluciones explícitas" son muy raras y, a menos que las ecuaciones tengan una forma muy especial y restringida, casi no vale la pena el esfuerzo de encontrarlas. Otro enfoque es encontrar soluciones aproximadas en una computadora, pero eso sólo nos dice qué sucederá con estos valores iniciales específicos y qué es lo que más queremos saber sobre muchos valores iniciales diferentes.

La idea de Poincaré era hacer un dibujo que trazara los cambios en todos los valores iniciales. El estado del sistema (el tamaño de los dos grupos en un momento dado) se puede representar como un punto en un plano, utilizando el método de coordenadas. Por ejemplo, podemos usar la abscisa para representar el número de cabezas de cerdo y la ordenada para representar el número de cepas de tubérculos. El estado inicial anterior corresponde a un punto con una abscisa de 0,017439 y una ordenada de 0,788444. Ahora deja pasar el tiempo. Las coordenadas cambian de un momento a otro según las reglas representadas por las ecuaciones diferenciales, por lo que los puntos correspondientes se mueven. Dibuja una curva basada en los puntos en movimiento; esa curva es una representación visual del estado futuro de todo el sistema. De hecho, al observar esta curva, se pueden "ver" dinámicas importantes sin conocer los valores reales de las coordenadas.

Por ejemplo, si la curva se cierra formando un bucle, los dos grupos siguen un ciclo cíclico, repitiendo los mismos valores sin interrupción, como coches en una pista pasando a los mismos espectadores en cada vuelta.

Si la curva se acerca a cierto punto y se detiene allí, la población se estabiliza en un estado estable donde nada cambia, como un auto de carreras que se queda sin combustible. Debido a una afortunada coincidencia, el ciclo y la homeostasis son de gran importancia ecológica; en particular, establecen límites superiores e inferiores al tamaño de una población. Entonces, estas características que son más fáciles de ver a simple vista son de hecho características de cosas reales. Y se pueden ignorar muchos detalles irrelevantes; por ejemplo, podemos ver que hay un bucle cerrado (que representa la "forma de onda" resultante de los dos períodos del grupo) sin describir su forma exacta.

¿Qué pasa si probamos con un par de valores iniciales diferentes? Obtenemos la segunda curva. Cada par de valores iniciales define una nueva curva. Al dibujar toda una familia de curvas de este tipo, podemos captar todos los comportamientos posibles del sistema en todos los valores iniciales. Esta serie de curvas se asemeja a las líneas de corriente de un fluido matemático virtual que gira alrededor de una superficie plana. A este plano lo llamamos espacio de fases del sistema, y ​​esa familia de curvas estacionarias es el diagrama de fases del sistema. En lugar del concepto de ecuaciones diferenciales basadas en los signos de varias condiciones iniciales, tenemos una imagen geométrica intuitiva de puntos que fluyen a través del espacio trufa. Esto difiere de un plano ordinario sólo en que muchos de los puntos son puntos potenciales en lugar de puntos reales: sus coordenadas corresponden a números de cerdos y deformaciones de bloques que podrían ocurrir bajo condiciones iniciales adecuadas, pero que podrían no ocurrir bajo ciertas circunstancias. Así, además de la transferencia mental de los símbolos a la geometría, también hay una transferencia de la realidad a la filosofía subyacente.

Puedes imaginar el mismo tipo de imagen geométrica para cualquier sistema dinámico. Existe un espacio de fases cuyas coordenadas son los valores de todas las variables un diagrama de fases, una familia de curvas en espiral que representan todos los comportamientos posibles a partir de todas las condiciones iniciales posibles, descritas mediante ecuaciones diferenciales. Esta idea es una gran mejora porque no necesitamos preocuparnos por los valores exactos de las soluciones de las ecuaciones diferenciales, sino que podemos centrarnos en el amplio rango del diagrama de fases, para que uno pueda aprovechar al máximo sus mayores puntos fuertes. (es decir, increíbles capacidades de procesamiento de imágenes). Los diagramas de espacio de fases se utilizan ampliamente en la ciencia como una forma de entrelazar todos los comportamientos potenciales entre los que la naturaleza selecciona los que realmente se observan.

Gracias a la gran innovación de Poincaré, la dinámica se puede visualizar con la ayuda de formas geométricas llamadas atractores. Si inicia un sistema dinámico desde un punto inicial y observa su funcionamiento a largo plazo, a menudo encontrará que eventualmente deambula alrededor de una determinada forma en el espacio de fase. Por ejemplo, una curva puede formar una espiral hasta convertirse en un circuito cerrado y luego girar alrededor del circuito para siempre. Además, diferentes elecciones de condiciones iniciales conducen a la misma forma terminal. Si es así, la forma se llama atractor. La dinámica a largo plazo de un sistema está gobernada por su atractor, y la forma del atractor determina qué tipo de dinámica se produce.

Por ejemplo, un sistema que tiende a ser estable tiene un atractor, que es un punto. Los sistemas que tienden a repetir periódicamente el mismo comportamiento tienen atractores de circuito cerrado. En otras palabras, el atractor de circuito cerrado es equivalente a un oscilador. Recuerde la descripción de una cuerda vibrante del Capítulo 5: La cuerda de un violín sufre una serie de movimientos que finalmente la devuelven a su punto inicial y repetirá esa serie una y otra vez. No me refiero a una cuerda de violín que se mueve en un bucle físico, pero mi descripción de ella es un bucle cerrado metafórico: movimiento que viaja en el terreno dinámico del espacio de fase.

El caos tiene su propio significado geométrico peculiar, que tiene que ver con extrañas formas fractales llamadas atractores extraños. El efecto mariposa muestra que el movimiento detallado de un atractor extraño no se puede determinar de antemano, pero eso no cambia el hecho de que se trata de un atractor. Imagínese si dejara caer una bola antigua en un océano agitado, ya sea que la dejara caer desde el aire o la dejara flotar bajo el agua, se movería hacia el océano. Una vez que llega a la superficie, toma un camino muy complicado a través de las olas, pero por muy complicado que sea el camino, la bola permanece en la superficie, o al menos cerca de ella. En esta imagen, la superficie del mar es el atractor. Por lo tanto, a pesar del caos, cualquiera que sea el punto de partida, el sistema eventualmente se acercará mucho a su atractor.

El caos como fenómeno matemático está bien documentado, pero ¿cómo se puede detectar en el mundo real? Tenemos que completar algunos experimentos, pero hay un problema.

El papel tradicional de la experiencia en la ciencia es comprobar las predicciones teóricas, pero si el efecto mariposa está en marcha (como ocurre en cualquier sistema caótico), ¿cómo podemos esperar comprobar una predicción? ¿Es el caos inherentemente incomprobable y, por tanto, poco científico? ¡La respuesta es "No"! Porque la palabra "profecía" tiene dos significados. Uno se refiere a “predecir el futuro”. Cuando ocurre el caos, el efecto mariposa dificulta las predicciones sobre el futuro. Pero otro significado es "describir de antemano cuáles serán los resultados del experimento". Consideremos el ejemplo de lanzar una moneda 100 veces. Para predecir, en el sentido de un adivino, lo que sucederá, hay que enumerar de antemano los resultados de cada lanzamiento. Pero puedes hacer predicciones científicas, como "aproximadamente la mitad de las monedas saldrán cara", sin tener que predecir el futuro específicamente; incluso si lo haces, el sistema sigue siendo aleatorio. Nadie diría que las estadísticas no son científicas porque tratan de acontecimientos impredecibles, por lo que tratan el caos con la misma actitud. Puedes hacer todo tipo de predicciones sobre sistemas caóticos. De hecho, se pueden hacer suficientes predicciones para distinguir el caos determinista de la verdadera aleatoriedad. Una cosa que a menudo se puede predecir es la forma del atractor, que no se ve afectada por el efecto mariposa. El efecto mariposa hace que el sistema siga diferentes trayectorias sobre el mismo atractor. En resumen, la forma general del atractor a menudo puede obtenerse a partir de observaciones experimentales.

El descubrimiento de Huntan revela un malentendido básico de la relación entre ley y conducta consecuente, es decir, la relación entre causa y resultado. Anteriormente pensábamos que las causas deterministas debían producir resultados regulares, pero ahora sabemos que pueden producir resultados muy irregulares que fácilmente pueden malinterpretarse como aleatoriedad. Solíamos pensar que las causas simples deben producir resultados simples (es decir, los resultados complejos deben tener causas complejas), pero ahora sabemos que las causas simples también pueden producir resultados complejos. Nos damos cuenta de que conocer estos patrones no significa que podamos predecir el comportamiento futuro.

¿Cómo surge esta desconexión entre causa y efecto? ¿Por qué las mismas reglas a veces producen patrones obvios y otras veces confusión? La respuesta se puede encontrar en la cocina de cada hogar, en un aparato mecánico tan sencillo como una batidora de huevos. El movimiento de los dos batidores es simple y predecible: cada batidor gira suavemente. Sin embargo, el movimiento de azúcares y proteínas a través del dispositivo es mucho más complejo. El azúcar y la proteína se mezclan bajo la acción del batidor, que es para qué sirve el batidor, pero los dos batidores giratorios no están entrelazados. No es necesario que desatar el brazo del batidor cuando haya terminado. ¿Por qué la acción de batir las claras de huevo es tan diferente de la acción del brazo batidor? La mezcla es un proceso dinámico y más complejo de lo que pensamos. ¡Imagínese lo difícil que es intentar predecir dónde terminará una partícula de azúcar específica! A medida que la mezcla pasa por un par de batidores, se separa de izquierda a derecha. Los dos granos de azúcar que inicialmente estaban muy juntos pronto se separaron y tomaron caminos separados. De hecho, este es el efecto mariposa en acción. Pequeños cambios en las condiciones iniciales tienen grandes efectos. Por tanto, la mezcla es un proceso caótico.

Por el contrario, en el espacio de fases virtual de Poincaré, cada proceso caótico contiene una mezcla matemática. Por eso las mareas son predecibles pero el clima es impredecible. Ambos contienen el mismo tipo de matemáticas, excepto que la dinámica de las mareas no se mezcla en el espacio de fases, mientras que la dinámica del tiempo sí lo hace.

La ciencia tradicionalmente ha valorado el orden, pero estamos empezando a darnos cuenta de que el caos puede aportar beneficios únicos a la ciencia. El caos facilita reaccionar rápidamente a los estímulos externos. Imagínese un jugador de tenis esperando para sacar. ¿Están quietos? ¿Se mueven de un lado a otro con frecuencia? Por supuesto que no. Sus pies rebotaron. Parte de esto es perturbar al oponente; pero al mismo tiempo, también estoy listo para responder a cualquier balón que me pasen. Para moverse rápidamente en una dirección particular, se mueven rápidamente en muchas direcciones diferentes. En comparación con los sistemas no caóticos, los sistemas caóticos pueden reaccionar muy rápidamente a eventos externos. Esto es muy importante para los problemas de control de ingeniería. Por ejemplo, ahora sabemos que ciertos tipos de turbulencia son causados ​​por el caos, el culpable de que el flujo turbulento sea caótico.

Lo que importa no es lo que haces, sino cómo lo haces.

El caos está trastornando nuestras cómodas suposiciones sobre cómo funciona el mundo. Por un lado, el caos nos dice que el universo es más extraño de lo que pensábamos. El caos pone en tela de juicio muchos métodos científicos tradicionales y ya no basta con conocer las leyes de la naturaleza. Por otro lado, el caos también nos dice que algunas cosas que pensábamos que eran irregulares en el pasado pueden en realidad ser el resultado de reglas simples. La mezcla natural también está regulada por ley. En el pasado, la ciencia a menudo ignoraba acontecimientos o fenómenos aparentemente irregulares basándose en que simplemente no tenían un patrón discernible y no estaban gobernados por leyes simples. Este no es el caso. Hay leyes sencillas delante de nuestras narices: leyes que controlan las epidemias, las enfermedades cardíacas o las plagas de langostas. Si conociéramos estos patrones, podríamos prevenir los desastres resultantes. El caos nos muestra nuevas leyes, incluso nuevas leyes. El caos tiene un nuevo modelo universal. Uno de los primeros patrones descubiertos se encontró en los grifos que goteaban. Quizás recordemos que de un grifo puede gotear agua de forma rítmica o aleatoria, dependiendo de la velocidad del flujo de agua. De hecho, un grifo que gotea regularmente y un grifo que gotea "irregularmente" son variaciones ligeramente diferentes de la misma prescripción matemática. Sin embargo, a medida que aumenta la velocidad del agua que fluye a través del grifo, el tipo de características dinámicas cambia. El atractor en el espacio de fases que caracteriza la dinámica cambia constantemente; cambia de una manera predecible pero extremadamente compleja.

Un grifo que gotea regularmente tiene un ritmo de goteo repetido, siendo cada gota igual a la anterior. Luego abre suavemente el grifo y el agua caerá un poco más rápido. Ahora el ritmo pasa a ser gota a gota, repitiéndose cada 2 gotas. No es sólo el tamaño de la gota (que determina qué tan fuerte suena), sino también el tiempo que tarda en caer de una gota a la siguiente lo que cambia ligeramente.

Si haces que el agua fluya más rápido, obtendrás un ritmo de 4 gotas, si el agua cae más rápido, obtendrás un ritmo de 8 gotas. La longitud de las repeticiones de las gotas de agua continúa duplicándose. En el modelo matemático, este proceso continúa indefinidamente, con grupos rítmicos de 16, 32, 64, etc. Sin embargo, el caudal que produce una duplicación de cada ciclo sucesivo se vuelve cada vez más sutil y hay un caudal en el que el tamaño del grupo rítmico se duplica con infinita frecuencia; En este momento, ninguna secuencia de gotas repite exactamente el mismo patrón. Esto es un caos.

Podemos utilizar el lenguaje geométrico de Poincaré para expresar lo sucedido. Para el grifo, el atractor está inicialmente cerrado, lo que indica un ciclo periódico. Imagina que este anillo es una banda elástica en tu dedo. A medida que aumenta el caudal, el anillo se divide en dos anillos adyacentes, como una banda elástica enrollada dos veces alrededor de un dedo. Entonces la banda elástica es el doble de larga, por lo que el período es el doble de largo. Este bucle duplicado luego se duplica exactamente de la misma manera a lo largo de su longitud, lo que da como resultado un bucle con período 4, y así sucesivamente. Después de hojearlo un número infinito de veces, tu dedo se envuelve alrededor de una banda elástica parecida a un espagueti, que es el atractor del caos.

Este esquema de creación de caos se llama cascada de duplicación de ciclos. En 1975, el físico Mitchell Feigenbaum descubrió que un número especial que podía medirse experimentalmente estaba asociado con la cascada de duplicación de cada ciclo. Este número es aproximadamente 4,669 y, junto con π, se ubica entre los números extraños que parecen tener un significado inusual en las matemáticas y su relación con la naturaleza. El número de Feigenbaum también tiene un símbolo: el griego Umu δ. El número π nos dice la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Asimismo, el número de Feigenbaum δ nos dice cómo se relaciona la circulación de las gotas de agua con la velocidad del agua. En concreto, hay que abrir el grifo esta cantidad extra y disminuirla en l/4,669 cada vez que se duplica el ciclo.

π es una característica cuantitativa de cualquier cosa relacionada con un círculo. Asimismo, el número de Feigenbaum δ es una característica cuantitativa de cualquier cascada de duplicación de períodos, independientemente de cómo se genera la cascada o cómo se obtiene experimentalmente. Este número también aparece en experimentos con amoníaco líquido, agua, circuitos eléctricos, péndulos, imanes y ruedas vibratorias. Es un nuevo modelo universal de la naturaleza, un modelo que sólo podemos ver a través de los ojos del caos, un modelo cuantitativo que surge de fenómenos cualitativos y un número. Este número es de hecho uno de los números naturales.

¿Feigenbaum abrió la puerta a un nuevo mundo de las matemáticas que apenas estamos comenzando a explorar? Este patrón preciso (armónico o no) que descubrió Feigenbaum es una obra maestra. La conclusión es que incluso si las consecuencias de una ley natural parecen no tener un patrón, la ley sigue ahí y el patrón también. El caos no es aleatorio, es un comportamiento aparentemente aleatorio producido por leyes precisas. El caos es la forma secreta del orden.