¿Quién puede darme algunas preguntas con respuestas (no demasiado simples, cuanto más difíciles, mejor) que apliquen el principio del casillero en la vida (no en la vida)?
Ejemplo 1. Coloca 13 puntos al azar en un cuadrado con una longitud de lado 1. Está demostrado que debe haber 4 puntos tales que no exceda el área del cuadrilátero que tiene estos 4 puntos como vértices.
Demostración: Como se muestra en la figura, si un cuadrado se divide en cuatro rectángulos con áreas iguales, entonces los cuatro puntos de 13 deben caer dentro del mismo rectángulo y el área no debe exceder.
Ejemplo 2. Coloca 7 puntos al azar en un círculo de radio 1, demostrando que debe haber 2 puntos y la distancia entre ellos no es mayor a 1.
Como se muestra en la figura, si el círculo se divide en seis sectores iguales, dos de los siete puntos deben caer dentro del mismo sector, y es fácil saber que su distancia no supera 1.
Ejemplo 3. Coloque 6 puntos arbitrariamente en un rectángulo de 3×4. Se demuestra que debe haber 2 puntos y la distancia entre ellos no es mayor que .
Como se muestra en la figura, si el rectángulo se divide en cinco partes, dos de los seis puntos caerán en la misma pieza, por lo que es fácil saber que su distancia no es mayor que .
Dos. Problemas con números
Ejemplo 4. Siéntete libre de dar 7 números enteros diferentes. Demuestra que deben existir 2 números enteros cuya suma o diferencia sea múltiplo de 10.
Prueba: divida los números enteros en 10 categorías según los restos divididos por 10 y divida estas 10 categorías en los siguientes seis grupos: {0} (que representa todos los números enteros divididos por 10); 9}; {2}, {8}; {3}, {7}; {4}, {6}; {5}.7 Dos números deben provenir del mismo grupo. la diferencia es múltiplo de 10; si son diferentes, la suma es múltiplo de 10.
Ejemplo 5. Demuestre que existe un número entero positivo con dígitos 0 o 1 que es múltiplo de 1993.
Prueba: Considere los siguientes números en 1993: 10, 110, 110,…,. Si algunos son múltiplos de 1993, la prueba está completa; en caso contrario, los restos de dividirlos por 1993 sólo pueden ser 1, 2,..., 1992. Deben haber dos números divididos por 1993 con el mismo resto, y su diferencia es múltiplo de 1993. Obviamente, el número de dígitos en esta diferencia es 0 o 1.
Ejemplo 6. Escribe al azar un número de 30 dígitos que consta de 1, 2 y 3. Corta tres números adyacentes de este número de 30 dígitos para formar un número de 3 dígitos. Está demostrado que se pueden obtener dos números idénticos de 3 dígitos utilizando el método anterior.
Prueba: Un * * * puede interceptar 28 números de 3 dígitos. Hay 33 = 27 números de 3 dígitos compuestos por 1, 2 y 3, por lo que los dos números deben ser iguales.
Ejemplo 7. Dados n 1 enteros positivos diferentes menores que 2n, demuestre que puede elegir tres números entre ellos de modo que la suma de dos de ellos sea igual al tercer número.
Demostración: Sea n 1 entero positivo A0
Tres. Problema de teñido
Ejemplo 8. Cada cuadrado de un tablero de ajedrez de 3×7 está teñido de uno de dos colores: rojo y azul. Demuestre que hay un rectángulo que consta de varios cuadrados y que los cuadrados en las cuatro esquinas del rectángulo son del mismo color.
Prueba 1: Los dos cuadrados de cada columna son del mismo color. Utilice un segmento de línea del mismo color para conectar los centros de los dos cuadrados para obtener siete segmentos de línea, cuatro de los cuales deben ser del mismo color y estar en rojo. Debido a que solo hay tres formas de conectarse (elija dos de tres cuadrados), los dos segmentos de línea roja deben conectarse de la misma manera y los cuatro cuadrados correspondientes forman un rectángulo con esquinas rojas.
Prueba 2: Hay al menos cuatro cuadrados del mismo color en la primera fila, y asumimos que los primeros cuatro cuadrados son rojos. Si hay dos cuadrados rojos entre los primeros cuatro cuadrados de la segunda fila, encuentra un rectángulo con las cuatro esquinas rojas. De lo contrario, al menos tres cuadrados son azules, digamos los tres primeros cuadrados. En este momento, los primeros tres cuadrados de la tercera fila deben tener dos cuadrados del mismo color. Si fueran rojos, formarían un rectángulo con cuatro esquinas en las mismas columnas que la primera fila. Si es azul, junto con los dos cuadrados azules de la segunda fila y la columna forman un rectángulo con esquinas azules.
Ejemplo 9.
Hay seis puntos en el plano, y no hay tres de ellos que sean líneas rectas. Hay un segmento de línea roja o azul que conecta dos puntos cualesquiera, lo que demuestra que debe haber un triángulo del mismo color (un triángulo con tres lados). mismo color).
Demostración: Tres de los cinco segmentos de recta que parten de un determinado punto A deben tener el mismo color. Sean rojos AB1, AB2 y AB3. Considere los segmentos de línea B1B2, B1B3 y B2B3. Si hay un segmento de línea roja BiBj, entonces △ABiBj es un triángulo rojo. Si todos son azules, △ B 1B B 3 es un triángulo azul.
Comentario: Si considera un punto como un elemento, considera el tinte rojo como una relación entre elementos y considera el tinte azul como una relación entre elementos, entonces este problema se puede expresar como: Defina seis elementos, cualquiera dos elementos están relacionados o no tienen relación A, entonces puedes elegir tres elementos, hay relación o no hay relación entre ellos.
Por ejemplo, si los elementos se reemplazan por personas y la relación entre los dos elementos se reemplaza por el entendimiento mutuo, se puede obtener la siguiente interesante proposición:
Selecciona seis personas al azar en El mundo para demostrar que puedes encontrar. Salieron tres personas, ¿se conocían?
Cuatro. El problema de la "continuidad"
Ejemplo 10. La revisión de matemáticas de un estudiante tomó 11 semanas. Responde al menos una pregunta todos los días y hasta 12 preguntas por semana. Demostrando que debían haber sido varios días consecutivos, solo hizo 21 preguntas. (Tutorial P295/7)
Certificado: Supongamos que el estudiante hizo la pregunta xi (i=1, 2,..., 77) hace un día, luego X1
Ejemplo 11 . Un trabajador del departamento de reparación de televisores reparó al menos un televisor todos los días durante 31 días en marzo, * * * reparó 56 televisores, lo que demuestra que debe haber comprado exactamente 5 televisores en días consecutivos (incluido 1 día).
Prueba: Supongamos que reparó la estación xi (I = 1, 2,..., 31) el día anterior, entonces x 1 < x2 lt;... X31=56, suponiendo Yi = xi 21, luego y1
5 Preguntas varias
Ejemplo 12. Hay 12 pares de palillos en total, incluidos 4 pares de palillos rojos, 4 pares de palillos blancos y 4 pares de palillos negros (los dos palillos del mismo par son del mismo color). Para sacar unos palillos, pide 2 pares de palillos de diferentes colores. ¿Cuántos palillos deberías sacar al menos?
Solución: Primero, no está garantizado sacar 10 palillos, como 8 palillos rojos y 2 palillos blancos. En segundo lugar, está garantizado sacar 11 palillos, porque debe haber 4 pares de palillos del mismo color entre los 11 palillos, y ya hay un par de palillos rojos. Como solo hay 8 palillos rojos, al menos 3 palillos son de otros colores.
Comentarios: Generalmente, para resolver este tipo de problemas, encuentre el número más grande que no se pueda establecer mediante el "peor de los casos" y luego demuestre que este número 1 debe cumplir con los requisitos.
Ejemplo 13. Hay 48 estudiantes en la clase A. Cada estudiante tiene algunos amigos en la clase (si A es amigo de B, entonces B también es amigo de A). Demuestre que hay al menos dos estudiantes que tienen el mismo número de amigos en la clase.
Prueba: El número de amigos de cada persona en la clase solo puede ser 0, 1,..., 47, pero 0 y 47 no se pueden obtener al mismo tiempo, por lo que debe haber dos personas en la clase. clase con el mismo número de amigos.
Ejemplo 14. Ocho sillas se colocan uniformemente alrededor de una mesa redonda giratoria, y las tarjetas de presentación de ocho personas se colocan en la mesa frente a las sillas. Después de que ocho personas se sentaron, descubrieron que nadie estaba frente a sus tarjetas de presentación. Resulta que, al girar la mesa correctamente, al menos dos personas pueden mirar sus tarjetas de presentación.
Prueba: La mesa gira 45 grados cada vez, incluyendo la posición inicial de 1 * * 8 veces. Si dos o más personas no señalan sus tarjetas de presentación en estas 8 veces, se dan cuenta de esto. señala su tarjeta de presentación una vez cada 8 veces. Entonces solo una persona señala su tarjeta de presentación en esas 8 veces, pero nadie señala su tarjeta de presentación al principio. Esto es una contradicción.