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La lógica de las matemáticas a veces puede llevar a conclusiones aparentemente extrañas. En términos generales, si no hay lagunas en el razonamiento lógico, entonces la conclusión debe ser válida, incluso si contradice su intuición. En septiembre de 1998, Stephen M. Omohundro de Palo Alto, California, me envió un rompecabezas que entraba de lleno en esta categoría. Esta pregunta ha estado circulando durante al menos diez años, pero Omohundro la cambió para complicar aún más su lógica.
Echemos un vistazo a la forma original de este rompecabezas. Diez piratas robaron 100 piezas de oro guardadas en el sótano y planearon dividir el botín. Son piratas que hablan de democracia (por supuesto, su propia versión de democracia). Su costumbre es distribuir de la siguiente manera: el pirata más poderoso propone un plan de distribución, y luego todos los piratas (incluido el que propuso el plan) votan. Si el 50% o más de los piratas están de acuerdo con el plan, éste se aprueba y el botín se distribuye en consecuencia. De lo contrario, el pirata que ideó el plan es arrojado al mar, se nombra al pirata más poderoso y se repite el proceso.
A todos los piratas les encantaría ver a uno de sus compañeros piratas arrojado por la borda, pero si tuvieran la opción, preferirían recibir una suma global de dinero en efectivo. Por supuesto, ellos no quieren que los arrojen al mar. Todos los piratas son racionales y saben que otros piratas también lo son. Además, no hay dos piratas igualmente poderosos: estos piratas están ordenados de arriba a abajo por orden de rango, y todos conocen su propio nivel y el de los demás. Las pepitas de oro ya no se podían dividir, y a varios piratas no se les permitía poseer las pepitas de oro, porque ningún pirata creía que sus cómplices respetarían el acuerdo de disfrutar de las pepitas de oro. Este es un grupo de piratas que solo se preocupan por ellos mismos. ¿Qué plan de distribución debería proponer el pirata más feroz que le permitiera obtener la mayor cantidad de oro?
Por conveniencia, hemos enumerado a estos piratas según su cobardía. El pirata más cobarde es el Pirata N° 1, el segundo pirata cobarde es el Pirata N° 2, y así sucesivamente. De esta manera, los piratas más fuertes deberían sacar el máximo partido, con propuestas que vienen de arriba hacia abajo.
El secreto para analizar todos estos juegos de estrategia es que debemos empezar desde el final y avanzar hacia atrás. Al final del juego podrás saber fácilmente qué decisión es ventajosa y cuál es desventajosa. Una vez que determine esto, podrá aplicarlo a la penúltima decisión, y así sucesivamente. Si empezamos desde el principio del juego no llegaremos muy lejos. La razón es que todas las decisiones estratégicas tienen que ver con determinar: "Si hago esto, ¿qué hará la próxima persona?"
Así que las decisiones que toma el pirata debajo de ti son importantes para ti, pero debajo de ti las decisiones hechos por los piratas antes que tú no importan porque de todos modos no hay nada que puedas hacer al respecto.
Teniendo esto en cuenta, podemos saber que nuestro punto de partida debe ser cuando solo quedan dos piratas en el juego, es decir, 1 y 2. El pirata más poderoso en este momento es el número 2, y su mejor plan de distribución es claro de un vistazo: las 100 monedas de oro le pertenecen y el pirata número 1 no recibe nada. Como él mismo votó ciertamente a favor del plan, representando el 50% del total, el plan fue aprobado.
Ahora añade el pirata número tres. El pirata número 1 sabe que si el plan del número 3 es rechazado y al final solo quedan dos piratas, el número 1 definitivamente no obtendrá nada. Además, el número 3 también sabe que el número 1 comprende esta situación. Por lo tanto, mientras el plan de distribución del N° 3 le dé al N° 1 un poco de dulzura para que no se vaya con las manos vacías, entonces el N° 1 votará a favor de cualquier plan de distribución que proponga el N° 3. Por lo tanto, el No. 3 necesita dar la menor cantidad de oro posible para sobornar al Pirata No. 1, por lo que se crea el siguiente plan de distribución: el Pirata No. 3 obtiene 99 de oro, el Pirata No. 2 recibe nada y el Pirata No. 1 recibe 1 oro.
La estrategia de Pirates 4 es similar. Necesita el 50% de los votos de apoyo, por lo que necesita encontrar otro miembro del partido como el número 3. El soborno mínimo que puede dar a sus camaradas es 1 oro, y puede usar este oro para comprar al pirata número 2. Porque si se rechaza el número 4 y se aprueba el número 3, el número 2 se quedará sin un centavo. Por lo tanto, el plan de distribución para el número 4 debería ser: 99 monedas de oro les pertenecen, el número 3 no recibe nada, el número 2 recibe 1 moneda de oro y el número 1 no recibe nada.
La estrategia en "Piratas 5" es ligeramente diferente. Necesita sobornar a otros dos piratas, por lo que debe sobornarlos con al menos dos monedas de oro para que se adopte su plan. Su plan de distribución debería ser: 98 de oro para él, 1 de oro para el No. 3 y 1 de oro para el No. 1.
Este proceso de análisis puede continuar según las ideas anteriores. Cada plan de distribución es único, lo que permite al pirata que propuso el plan obtener la mayor cantidad de oro posible y al mismo tiempo garantizar que el plan se apruebe. Según este modelo, el plan propuesto por el Pirata 10 será que le pertenecerán 96 monedas de oro, los demás piratas pares recibirán cada uno 1 moneda de oro y los piratas impares no obtendrán nada. Esto resuelve el problema de distribución de 10 piratas.
El aporte de Omohundro fue que amplió el problema a 500 piratas, es decir, 500 piratas dividieron 100 monedas de oro. Aparentemente, todavía se aplican leyes similares, al menos dentro de ciertos límites. De hecho, las leyes anteriores no se establecieron hasta el pirata número 200.
El plan del Pirata No. 200 será que todos los piratas impares del 1 al 199 no obtendrán nada, mientras que todos los piratas pares del 2 al 198 recibirán cada uno 1 moneda de oro, y la moneda de oro restante pertenecerá al pirata No. 200 él mismo.
A primera vista, este método de argumento ya no es aplicable después de 200, porque 201 no puede producir más oro para sobornar a otros piratas. Pero incluso si no puede conseguir el oro, el número 201 al menos espera no ser arrojado al mar, por lo que puede distribuirlo así: distribuye 1 oro a todos los piratas impares desde el número 1 hasta 199 y no quiere nada de oro.
El pirata nº 202 no tiene más remedio que renunciar a una moneda de oro: debe usar las 100 monedas de oro para sobornar al pirata nº 100, y el pirata nº 100 tampoco debe recibir nada según el Plan 201. gente. Dado que existen 101 piratas de este tipo, el Plan 202 ya no es único: hay 101 planes de soborno.
El Pirata 203 debe obtener 102 votos a favor, pero obviamente no tiene suficiente oro para sobornar a 101 cómplices. Por lo tanto, no importa qué plan de distribución se proponga, está destinado a ser arrojado al mar y alimentar a los peces. Sin embargo, aunque el No. 203 está destinado a morir, eso no significa que no tenga ningún papel en el juego. Por el contrario, el No. 204 ahora sabe que para salvar su vida, el No. 203 debe evitar la situación de proponer él mismo un plan de asignación, por lo que no importa qué plan proponga el pirata No. 204, el No. 203 definitivamente votará. a favor. De esta manera, el pirata número 204 tuvo la suerte de encontrar una vida: pudo obtener 1 voto propio, 1 voto del número 203 y 100 votos piratas pagados, que era exactamente el 50% de lo que necesitaba para salvar su vida. . El pirata que obtenga el oro debe pertenecer a los 101 piratas. Según el plan 202, definitivamente no obtendrá nada.
¿Cuál es el destino de Pirata 205? No tuvo tanta suerte. No puede contar con los números 203 y 204 para apoyar su plan, porque si votan en contra del número 205, pueden alardear de que el número 205 fue arrojado al mar para alimentar a los peces, pero sus propias vidas aún pueden hacerlo. ser salvo. De esta forma, no importa qué plan se le ocurra a Pirate 205, morirán. Lo mismo ocurre con el Pirata No. 206: ciertamente puede obtener apoyo del No. 205, pero no es suficiente para salvarle la vida. De manera similar, Pirate 207 necesita 104 votos a favor; más los 100 votos que compró y su propio voto, necesita 3 votos a favor para evitar la muerte. Puede obtener el apoyo de los números 205 y 206, pero no puede obtener los votos pase lo que pase, por lo que el destino del Pirata No. 207 también es alimentar a los peces en el mar.
La suerte de 208 volvió a cambiar. Necesita 104 votos a favor y 205, 206 y 207 lo apoyarán. Con su propio voto y los 100 votos que compró, podrá sobrevivir. Las personas que reciben sus sobornos deben ser aquellas que no reciben nada según el plan 204 (los candidatos incluyen a todos los piratas pares del 2 al 200, así como a los 201, 203 y 204).
Ahora podemos ver una nueva ley que entra en vigor a partir de ahora: entre aquellos piratas cuyos planes pueden pasar (sus planes de asignación se usan todos para comprar 100 cómplices y no pueden conseguir ninguno) La distancia es Al avanzar cada vez más, los piratas entre ellos serán arrojados al mar sin importar el plan que propongan, por lo que para salvar sus vidas, definitivamente votarán por cualquier plan de distribución propuesto por los piratas que sean mejores que ellos. Los piratas que pueden evitar ser enterrados en el vientre del pez son 201, 202, 204, 208, 216, 232, 264, 328, 456, es decir, el número de piratas es igual a la potencia de 200 más 2.
Ahora veamos qué piratas tuvieron la suerte de recibir sobornos. Hay muchas formas de pagar sobornos. Un método es hacer que el pirata número 201 soborne a todos los piratas con números impares del número 1 al 199, que el número 202 soborne a los piratas con números pares del número 2 al 200, y luego que el número 204 soborne a los piratas con números impares. piratas, y el número 208 soborna a los piratas pares Por analogía, soborna a los piratas pares e impares por turno.
La conclusión es que cuando 500 piratas usan la estrategia óptima para dividir el oro, los primeros 44 piratas morirán, y el pirata número 456 distribuirá 1 oro a todos los piratas impares entre 1 y 199. El problema Eso es todo. Debido al sistema democrático practicado por estos piratas, sus asuntos se volvieron más graves. La mayoría de los piratas van al mar para alimentar a los peces, pero a veces se sienten afortunados: aunque no pueden robar el oro, siempre pueden evitar la muerte. Sólo los 200 piratas más cobardes pueden conseguir una parte del pastel, y sólo la mitad de ellos pueden conseguir una pieza de oro. Los cobardes heredan riqueza, eso es un hecho.