Enseñanza del diseño de funciones trigonométricas en matemáticas en secundaria

Escribir buenos planes de estudio es la condición básica para asegurar el éxito de la enseñanza y mejorar la calidad de la misma. Para ayudar a los profesores a preparar las lecciones, el siguiente es el diseño de enseñanza de funciones trigonométricas en matemáticas de secundaria que comparto con ustedes. ¡Espero que les guste!

El diseño de enseñanza de funciones trigonométricas en la primera unidad. de matemáticas de secundaria

Veinticuatro horas lectivas

Libro de texto: Fórmula de doble ángulo, derivación del producto suma-diferencia y fórmula producto-suma-diferencia

Propósito: Continuar revisando y consolidando la fórmula de doble ángulo, y al mismo tiempo fortalecer la capacitación en el uso flexible de la fórmula; Deje que los estudiantes deriven la fórmula de suma-diferencia producto suma producto-suma diferencia y la comprendan.

Proceso:

1. Revise el proceso de derivación de la fórmula del doble ángulo, la fórmula del medio ángulo y la fórmula universal:

Ejemplo 1. Se sabe que , tan? = , tan? = , encontrar 2?

("Enseñanza) y Pruebas" P115 Ejemplo 3)

Solución: ?

¿Y ∵tan2? < 0, tan? < 0 ? ,

2? + ? =

Ejemplo 2. Se sabe que sen cos = , , y encuentra el valor de la suma tan?

Solución: ∵ sin cos?

Simplificado: ?

　∵ Es decir

2. Derivación del producto y fórmula de diferencia

sin (? + ?) + pecado( ?) = 2sen?cos pecado?cos? = [sen(? + ?) + pecado( ?)]

pecado(? + ?) ? pecado( ?) = 2cos?sin cos?sin? = [pecado(? + ?) ? sin( ?)]

cos(? + ?) + cos(?) = 2cos?cos?cos? = [cos(? + ?) + cos(?)]

cos(? + ?) cos(? ) = ? 2sin?sin? sin? = ? [cos(? + ?) ? de funciones trigonométricas La estructura es familiar y no requiere memoria, su ventaja es que convierte la fórmula del producto en una suma y diferencia, lo que es útil para simplificar el cálculo.

(Bajo la premisa de contar la fórmula)

Ejemplo 3. Verificación: sin3?sin3?+cos3?cos3?=cos32?

Prueba: Lado izquierdo = (sin3?sin?)sin2? + (cos3?cos?)cos2?

= (cos4 cos2?)sin2? (cos4? + cos2?)cos2?

= ? cos4?cos2? + cos2?cos2? >

= cos4?cos2? + cos2?(cos4? + 1)

= cos2?2cos22? derecha

Prueba de la fórmula original

3. Derivación de la fórmula del producto suma-diferencia

Si ? + ? = ?, ? = ?, entonces, sustituye:

　?

Este conjunto La fórmula se llama fórmula de producto suma-diferencia, y su característica es que solo se puede utilizar el seno (co)senoide del mismo nombre. Complementa y se usa junto con la fórmula producto-suma-diferencia.

Ejemplo 4: Dado cos cos ? = , sin sin? = , encuentre el valor de sin(? + ?)

Solución: ∵cos cos ? = ,? ①

sin pecado = ,? p>

　?

IV. Resumen: la suma y la diferencia se convierten en productos, y los productos se convierten en suma y diferencia

5. Tarea: "Práctica de la lección" P36?37 Preguntas de ejemplo recomendadas 1?3

P38?39 Preguntas de ejemplo recomendadas 1? 3

Preguntas de ejemplo 1?3 recomendadas para P40

Enseñanza del diseño de fórmulas inducidas para funciones trigonométricas en matemáticas de secundaria

1 Análisis de los materiales didácticos

1.1 El estado y el papel de los materiales didácticos

¿El contenido didáctico de esta lección? Fórmulas inductivas (2) ) y (3)? Es el segundo volumen de "Álgebra de la escuela secundaria" publicado por el contenido del Capítulo 2.6 de People's Education Press. No es solo la continuación y expansión del conocimiento de las definiciones de funciones trigonométricas y la fórmula de inducción (1). He aprendido, pero también la base teórica para derivar las fórmulas de inducción (4) y (5). Es la base de este capítulo para cualquier función trigonométrica. ¿Es un vínculo importante en esta sección y en todo el capítulo? de una función trigonométrica es una parte importante de las funciones trigonométricas. La fórmula de inducción es el método básico para encontrar el valor de una función trigonométrica. La función importante de la fórmula de inducción es encontrar el valor de cualquier función trigonométrica. de la función trigonométrica del ángulo se transforma en el problema de encontrar el valor de la función trigonométrica del ángulo entre 0? y 90?, y el proceso de derivación de la fórmula inducida incorpora el método de pensamiento de combinación matemática de números y formas y transformación inductiva y refleja el pensamiento inductivo de las matemáticas de forma especial a general. Esto es de gran importancia para cultivar el sentido de innovación de los estudiantes, desarrollar la capacidad de pensamiento de los estudiantes y dominar los métodos de pensamiento matemático. p>

1.2 Enfoque y dificultades de la enseñanza

1.2.1 Enfoque de la enseñanza

Derivación y aplicación de la fórmula de inducción

1.2.2 Dificultades de la enseñanza

Comprender la relación de simetría geométrica entre los ángulos relevantes y los lados terminales y las características estructurales de los elementos inducidos. fórmulas.

　2 Análisis Objetivo

De acuerdo a los requerimientos del plan de estudios y las características estructurales de los contenidos docentes, en base Sobre las reglas psicológicas del aprendizaje de los estudiantes y los requisitos de una educación de calidad, combinados con el nivel real de los estudiantes, los objetivos de enseñanza de esta lección son los siguientes

2.1 Objetivos de conocimiento

1) Memorización de fórmulas de inducción

　2) Comprender y dominar la connotación y características estructurales de las fórmulas, ser capaz de utilice inicialmente fórmulas inducidas para encontrar los valores de funciones trigonométricas y simplifique y demuestre fórmulas de funciones trigonométricas simples.

2.2 Objetivos de habilidad

1) A través de la derivación de fórmulas inducidas, cultivar las habilidades de observación, análisis e inducción de los estudiantes, y comprender la inducción y transformación de los métodos de pensamiento en matemáticas.

2 ) Al inducir la derivación de fórmulas y analizar las características estructurales de las fórmulas, los estudiantes pueden experimentar y comprender el estilo de pensamiento del razonamiento matemático inductivo de especial a general.

　3) Mejorar a los estudiantes ' Habilidad práctica para analizar y resolver problemas a través de la práctica de grupos de preguntas de entrenamiento básico y grupos de preguntas de entrenamiento de habilidades.

2.3 Metas emocionales

1) A través de la derivación de fórmulas inducidas, cultivar el espíritu científico de exploración activa y el coraje para descubrir de los estudiantes, y cultivar la conciencia innovadora y el espíritu innovador de los estudiantes.

2 ) A través del entrenamiento del pensamiento inductivo, cultivar en los estudiantes hábitos de aprendizaje prácticos, meticulosos, rigurosos y científicos, y penetrar en el pensamiento materialista dialéctico de ir de lo específico a lo general y transformar lo desconocido en conocido.

　3 Análisis de Procesos

3.1 Crear situaciones problemáticas, guiar a los estudiantes a observar, asociar e introducir temas

1) Pregunta: definición de funciones trigonométricas, fórmula inducida (1) y su estructura Características.

2) Escribir en la pizarra: Fórmula de inducción (1).

sin(k? 360?+?)= sin?, cos(k?360?+?)=cos?.

tan(k?360?+?)=tan?, cuna (k?360?+ ?)=cot?(k?Z)

Características estructurales: ①Los mismos valores de función trigonométrica de ángulos con los mismos lados terminales son iguales.

② Transforma el problema de encontrar el valor de la función trigonométrica de cualquier ángulo en el problema de encontrar el valor de la función trigonométrica del ángulo 0?~360?.

La idea de enseñanza es permitir que los estudiantes revisen haciendo preguntas, presten atención al conocimiento relevante existente y allanen el camino para que los estudiantes aprendan nuevos conocimientos. /p>

3) Práctica del estudiante: Intente encontrar los siguientes valores de funciones trigonométricas

sin1110?, sin1290?

La idea de enseñanza es derivar nuevas preguntas a partir del conocimiento existente y crear situaciones problemáticas para aprender nuevos conocimientos para despertar las necesidades de aprendizaje y el interés de los estudiantes, estimular la sed de conocimiento de los estudiantes e inspirar el pensamiento de los estudiantes.

4) Después de presentar el concepto del círculo unitario, guíe a los estudiantes a observar la demostración (1) y pensar en las siguientes preguntas:

p>

① ¿Se puede expresar 210 en la forma (180?+?) (0?

　②¿Cuál es la relación entre las aristas terminales de los ángulos 210 y 30? (Son extensiones inversas entre sí o simétricas con respecto al origen)

③ Suponga que los lados terminales de los ángulos 210° y 30° intersectan el círculo unitario en los puntos P y P' respectivamente. ¿Cuál es la relación posicional entre los puntos P y P' (Simetría con respecto a? origen)

④Supongamos el punto P (x, y), ¿cómo expresar las coordenadas del punto P' [P'(-x,-y)]

⑤sin210? y sin30? ¿Cuál es la relación entre los valores de Con ayuda de la definición de funciones trigonométricas, encuentra la relación entre los valores de sin210 y sin30? y lograr el propósito de encontrar los valores de funciones trigonométricas de ángulos de 0? a 90?.

A través de la exploración activa, los estudiantes descubren formas de resolver problemas, experimentar y comprender las matemáticas. métodos de pensamiento para combinar números y formas y transformación inductiva.

5) Introducción al tema

¿Para algún ángulo?, ¿Cuál es la relación entre pecado y pecado (180?+?). Intenta contar tu conjetura.

3.2 Usa la regla de transferencia para guiar a los estudiantes Asociación, analogía, inducción, derivación de fórmulas

1) Guíe a los estudiantes para que observen la demostración (2) y piensen en las siguientes preguntas:

①¿Qué ¿Cuál es la relación entre ? y el lado terminal del ángulo (180?+?)? (Son líneas de extensión inversas entre sí o simétricas con respecto al origen)

②Supongamos que ? y (180?+? ?) Los lados terminales del ángulo intersecan el círculo unitario en los puntos P y P' respectivamente ¿Cuál es la relación posicional entre los puntos P y P' (Simetría con respecto al origen)? >

③Establezca el punto P (x, y), entonces, ¿cómo expresar las coordenadas del punto P' [P'(-x,-y)]

④sin? y sin(180?+?), ¿cuál es la relación entre cos? y cos(180?+?)?

⑤tan? ?+?), cuna? y cuna(180?+?) ¿Cómo?

>

⑥Después de la exploración, ¿puedes resumir la conclusión anterior en una fórmula? ¿Cuáles son las características de su fórmula?

2) Escribe la fórmula de inducción en la pizarra

sin(180?+?)=-sin?, cos(180?+?)=-cos?,

tan(180?+? )=tan?, cot(180?+?)=cot?.

Características estructurales: ①El nombre de la función permanece sin cambios y el símbolo mira el cuadrante (cuando ? se considera un ángulo agudo).

②Convierta el valor de la función trigonométrica de (180?+?) en el valor de la función trigonométrica de ?.

Después de que la idea de enseñanza inspira a los estudiantes a hacer conjeturas, los estudiantes se sienten inspirados a comparar el problema especial (¿encontrar el valor de sen210?) con problemas generales, realizar la transferencia de métodos, guiar a los estudiantes para que observen el demostración y descubra el borde terminal y el ángulo del ángulo? y (180?+?) Su relación simétrica con el punto de intersección del círculo unitario alrededor del origen convierte el valor de la función trigonométrica del ángulo (180?+?) en trigonométrico valor de función de?. Llevar a cabo entrenamiento de pensamiento inductivo para los estudiantes y cultivar su capacidad de pensamiento inductivo.

La demostración dinámica de la microcomputadora permite a los estudiantes tener una comprensión precisa de "un ángulo arbitrario". ", experimente inicialmente la forma de razonamiento inductivo de especial a general y comprenda las ideas y métodos de la transformación inductiva en matemáticas.

3) Grupo de preguntas de formación básica 1

Encuentra los valores de las siguientes funciones trigonométricas (consulta la tabla):

② Intenta encontrar el valor de sin[180?+(-210?)]

Análisis:

Para la pregunta 2, las situaciones posibles para estudiantes son:

sin[180?+(-210?)]=-sin(-210?),

O sin[180?+(-210?)]=sin(-30?).

(En este punto, la mayoría de los estudiantes ya no pueden calcular)

El concepto de enseñanza deriva nuevas incógnitas sobre la base de nuevos conocimientos y una vez más crea situaciones problemáticas para impulsar aún más los intereses de aprendizaje de los estudiantes. Para alcanzar el clímax, anime a los estudiantes a atreverse a encontrarse. desafíos, superar dificultades, continuar persiguiendo, cultivar sentimientos y ejercitar la voluntad.

4) Guíe a los estudiantes para que observen la demostración (3) y piensen en las siguientes preguntas:

①¿Cuál es la relación entre las posiciones terminales de los ángulos 30 y (-30?)? (Simetría con respecto al eje x)

② Suponga que los lados terminales de los ángulos 30? y (-30?) intersecan el círculo unitario en los puntos P y P' respectivamente. ¿Cuál es la relación posicional entre los puntos P y P' (simétrica con respecto a x-? eje)

③Supongamos el punto P (x, y), ¿cómo expresar las coordenadas del punto P' [P' (x, -y)]

④¿Cuál es la relación entre los valores de sin(-30?) y sin30?

La idea didáctica guía a los estudiantes a hacer una analogía entre el problema de sin210? y sin (-30?) para lograr la transferencia del método. A través de la demostración dinámica del microordenador, la relación entre los lados terminales de -30 y 30? se encuentra que es simétrico con respecto al eje x. Con la ayuda de la definición de funciones trigonométricas, encuentre la relación entre los valores sin(-30?) y sin30 y logre Transformado en el propósito de encontrar el valor de la función trigonométrica. ¿ángulos 0? a 90?.

5) Introduce una nueva pregunta: ¿para cualquier ángulo?, ¿la relación entre pecado? y pecado(-?) ¿Cuál es la relación? ¿Cuál es tu suposición?

6) Guíe a los estudiantes para que observen la demostración (4) y piensen en las siguientes preguntas: (¿Supongamos? es cualquier ángulo)

① ¿Cuál es la relación entre ? y la posición del lado terminal del ángulo (-?) (Simetría con respecto al eje x)

② Supongamos que ? y (-?) Los lados terminales del ángulo intersecan el círculo unitario en los puntos P y P' respectivamente. ¿Cuál es la relación posicional entre los puntos P y P' (simetría con respecto al eje x)?

③Supongamos el punto P (x, y), ¿cómo expresar las coordenadas del punto P' [P'(x,-y)]

　④¿Cuál es la relación entre pecado? y pecado(-?), cos? y cos(-?)?

　⑤tan? ?), ¿Cuál es la relación entre cot? y cot(-?)?

7) Los estudiantes discuten en grupos, intentan derivar fórmulas, los profesores inspeccionan y brindan comentarios oportunos. , correcciones y comentarios.

8) Fórmula inductora escrita en la pizarra

sin(-?)=-sin ?, cos(-?)=cos?.

tan(-?)=-tan?, cot(-?)=-cot?.

Características estructurales: función El nombre permanece sin cambios y el símbolo mira el cuadrante (trate? como un ángulo agudo)

Convierta el trigonométrico valor de la función de (-?) en el valor de la función trigonométrica de ?.

9) Grupo de preguntas de entrenamiento básico (2): Encuentre los valores de las siguientes funciones trigonométricas ( puedes consultar la tabla)

③cos(-240 ?12');④cot(-400?).

3.3 Construir un sistema de conocimientos, dominar métodos y fortalecer capacidades

Resumen de la clase: (Deje que los estudiantes lo completen haciendo preguntas y completando los espacios en blanco)

1) Fórmula de inducción:

sin(k ?360?+?)=sin?.

cos(k?360?+?)=cos?.

tan(k?360?+?)=tan?.

cuna(k?360?+?)=cuna?.(k?Z)

sin(180?+?)=-sin ?.

cos(180?+?)=-cos?.

tan(180?+?)= ¿bronceado?.

cuna(180?+?)=cuna?.

sin(-?)=-sin ?.

cos(-?)=cos?.

tan(-?)=-tan?.

cot(-?)=-cot?.

2) Las características estructurales de la fórmula: el nombre de la función permanece sin cambios, y el símbolo está en el cuadrante (cuando ? se considera un ángulo agudo)

3) Métodos y pasos:

La idea de enseñanza es guiar a los estudiantes a resumir el conocimiento existente, formar un sistema de conocimiento, descubrir reglas de conocimiento y características estructurales, y profundizar su comprensión de la connotación y esencia de las fórmulas inducidas mediante la forma de hacer preguntas y completar los espacios en blanco. Comprender y fortalecer la memoria.

Minar el sistema de conocimiento incorpora la inducción y transformación de los métodos de pensamiento en matemáticas, cultiva las habilidades de generalización y abstracción de los estudiantes y forma una red y un método de conocimiento. red.

4) Conjunto de preguntas sobre entrenamiento de habilidades: (evaluar la capacidad de los estudiantes para aplicar conocimientos de manera integral)

5) Extracurricular Preguntas de pensamiento.

① Encuentra los valores de las siguientes funciones trigonométricas:

6) Tareas y preguntas de pensamiento extracurriculares.

Tarea: P162 Ejercicio 13 (1)? (6)

La idea didáctica es evaluar la capacidad de los estudiantes para aplique el conocimiento de manera integral a través de grupos de preguntas de entrenamiento de habilidades y preguntas de pensamiento extracurriculares, y cultive la capacidad de pensamiento creativo de los estudiantes, mejore la capacidad práctica de los estudiantes para analizar y resolver problemas.

Los estudiantes dejan los "sonidos restantes" fuera de clase, lo que los cultiva para que desarrollen buenos hábitos de estudio de aprendizaje consciente y exploración activa, y se preparan para la siguiente clase para aprender las fórmulas de inducción (4) y (5).

　4 Análisis de los métodos de enseñanza

Con base en las características estructurales del contenido de la enseñanza y las reglas psicológicas de los estudiantes que aprenden matemáticas, esta lección adopta "preguntas, analogías, descubrimientos e inducciones". Método de enseñanza de entrenamiento del pensamiento basado en la investigación.

4.1 Utilizar el conocimiento existente para derivar nuevas preguntas, crear situaciones problemáticas, despertar el interés de los estudiantes en aprender, estimular a los estudiantes. 'deseo de conocimiento y lograr el objetivo de expandir el conocimiento antiguo. Nuevo propósito.

4.2 A partir de los ejemplos especiales de la relación de simetría del borde terminal entre (180?+30? ) y 30?, (-30?) y 30?, utilizando dinámicas multimedia. Demostrar que los estudiantes tienen una comprensión más completa de ? como un ángulo arbitrario. A través de la asociación, se guía a los estudiantes para que realicen analogías de problemas y transferencias de métodos, y descubran el. relación simétrica entre cualquier ángulo ? y (180?+?), -? Desde el entrenamiento de razonamiento inductivo especial al general, el pensamiento inductivo de los estudiantes es más objetivo, riguroso y profundo, cultivando la capacidad innovadora de los estudiantes.

4.3 Utilice preguntas para plantear dudas y observar la demostración, paso a paso en profundidad, desencadenando capa por capa, guiando la asociación y la analogía, y luego descubriendo y resumiendo el método de enseñanza de entrenamiento del pensamiento basado en la investigación. está diseñado para permitir a los estudiantes sentir y comprender plenamente el proceso de generación y desarrollo del conocimiento. Con la inspiración y guía oportuna del maestro, los estudiantes exploran y descubren activamente reglas (fórmulas) matemáticas en el proceso de analogía e inducción y cultivan la conciencia innovadora de los estudiantes. y espíritu innovador, y cultivar la capacidad de pensamiento de los estudiantes.

　4.4 A través del grupo de preguntas de entrenamiento de habilidades y preguntas de pensamiento extracurriculares, la aplicación de fórmulas de inducción (1), (2), y (3) se ampliará aún más, y se preparará la base teórica para la deducción deductiva de las fórmulas de inducción (4) y (5), y la inducción será El razonamiento y el razonamiento deductivo se combinan orgánicamente para desarrollar la capacidad de pensamiento de los estudiantes.

　5 Análisis de la evaluación

El proceso de enseñanza de esta lección Al plantear preguntas y dudas, los estudiantes son guiados paso a paso. de lo específico a lo general para hacer asociaciones, analogías, inducciones y descubrir fórmulas matemáticas, reflejando un proceso de aprendizaje liderado por el docente, centrado en el estudiante y de pensamiento positivo.

En el proceso de entrenamiento del pensamiento de analogía de problemas, transferencia de métodos y razonamiento inductivo, los profesores y los estudiantes tienen un intercambio de información fluido, retroalimentación oportuna, evaluación oportuna, corrección oportuna, el pensamiento de los estudiantes es activo y las actividades de enseñanza están siempre bajo el control de expectativas de los docentes.

5 Instrucciones para el diseño del plan de enseñanza

5.1 Sobre la ideología rectora de la enseñanza de esta lección

El razonamiento inductivo es la forma básica de pensamiento para descubrir y adquirir conocimiento. Laplace dijo una vez: Las principales herramientas para descubrir la verdad son también la inducción y la analogía. El pensamiento inductivo tiene una posición especial e importante en. formar conciencia innovadora Lo que a menudo se obtiene es la creación pionera (recreación) La evaluación de funciones trigonométricas es uno de los problemas importantes en las funciones trigonométricas, y las fórmulas inducidas son el método básico para resolver dichos problemas. , a través de la formulación de problemas, demostraciones dinámicas multimedia, etc. Las medidas de enseñanza crean situaciones problemáticas y guían a los estudiantes a generalizar desde atributos especiales e individuales hasta propiedades universales y generales a través de la asociación y la analogía. Esto refleja la experiencia y comprensión completas de los estudiantes sobre la generación y el desarrollo. proceso de conocimiento y alienta a los estudiantes a pensar activamente, explorar, atreverse a descubrir y atreverse a innovar. A través del entrenamiento del pensamiento inductivo de especial a general, los estudiantes adquieren activamente nuevos conocimientos y, en el proceso de adquirir conocimientos, forman una buena calidad de pensamiento y. desarrollar la capacidad de pensamiento de los estudiantes.

5.2 Sobre el diseño del proceso de enseñanza

1) Reproducir el conocimiento relevante existente para allanar el camino para aprender nuevos conocimientos.

2) El pensamiento siempre comienza con preguntas En el proceso de evaluación de sin1290?, de lo conocido a lo desconocido, surgen nuevas preguntas, las. Se crea una atmósfera y se despiertan las necesidades de aprendizaje y el interés de los estudiantes por aprender, estimulando la sed de conocimiento de los estudiantes.

3) El método del pensamiento matemático es el núcleo de la calidad matemática. ¿El proceso de evaluación de sin210 transforma lo desconocido en lo conocido y guía a los estudiantes a descubrir la fórmula de inducción de derivación?

Métodos y enfoques para comprender la inducción y transformación de los métodos de pensamiento en matemáticas

4) A través de demostraciones intuitivas y dinámicas multimedia, completar la clasificación de todas las situaciones, desde especiales hasta generales, y. guiar a los estudiantes a asociar, realizar analogías de problemas, métodos de transferencia y razonamiento inductivo para sacar conclusiones universales, formar fórmulas y realizar entrenamiento de pensamiento inductivo.

5) Fortalecer la comprensión de lo estructural. características de las fórmulas inducidas analizándolas Comprender y memorizar las fórmulas de inducción y comprender profundamente la connotación y la esencia de las fórmulas de inducción Construir un sistema de conocimientos y cultivar las habilidades de generalización y abstracción de los estudiantes