¿Qué puntos de conocimiento hay en los tres años de matemáticas de la escuela secundaria? ¿Puedes resumirlo para mí? ¡Gracias a todos! ! ¡Muchas gracias!
(1) El número de subconjuntos de un conjunto que contiene n elementos es 2n, y el número de subconjuntos propios es 2n-1 el número de subconjuntos propios no vacíos es 2n; -2;
(2) Nota: No olvide la situación cuando discuta.
Parte 2 Funciones y derivadas
1. Tenga en cuenta que ① los elementos del primer grupo deben tener imágenes; ② uno a uno o muchos a uno.
2. Resuelva el rango de valores de la función: ① Método analítico; ② Método de coincidencia; ③ Utilice la monotonicidad de la función; desigualdad; ⑦Utilice la combinación de números y formas o significado geométrico (el significado de pendiente, distancia, valor absoluto, etc.) ⑧Utilice la acotación de la función ⑨Método derivado
3. ?
Resuelve (1) el dominio de la función compuesta
① Si el dominio de f(x) es [a, b], la función compuesta f[g(x) ] El dominio de definición se resuelve mediante la desigualdad a≤g(x)≤b ② Si el dominio de f[g(x)] es [a, b], entonces encuentre el dominio de f(x), que es equivalente a x ͧ.
(2) Determinación de la monotonicidad de funciones compuestas:
Primero, descomponga la función original en funciones básicas: funciones internas y funciones externas;
En segundo lugar, estudie las funciones internas por separado y la monotonicidad de las funciones externas en sus respectivos dominios;
③ Según "el mismo sexo aumenta, el sexo opuesto disminuye", juzgue la monotonicidad de la función original en su dominio.
Nota: El dominio de la función externa es el dominio de valor de la función interna.
4. Función por partes: los problemas como el rango de valores (valor máximo), la monotonicidad, la imagen, etc. deben resolverse primero por partes y luego se pueden sacar conclusiones.
5. Paridad de la función
(1) La simetría del dominio de la función respecto al origen es una condición necesaria para la paridad de la función;
( 2) Función de rareza;
(3) es una función par;
(4) La función impar está definida en el origen, entonces;
5. En el caso de simetría con respecto al origen Dentro del intervalo monótono: las funciones impares tienen la misma monotonicidad y las funciones pares tienen la monotonicidad opuesta;
(6) Si la fórmula analítica de una función dada es relativamente complejo, antes de juzgar su paridad, debe ser Deformación equivalente;
6 Monotonicidad de la función
(1) Definición de monotonicidad:
(1. ) Es una función creciente cuando existe el intervalo
(2) Es una función decreciente dentro del intervalo;
⑵Determinación de la monotonicidad
1 Método de definición; :
Nota: Generalmente, la fórmula debe convertirse en el producto o cociente de varios factores para facilitar el juicio de símbolos
② Método derivado (consulte la parte de derivados
③ Método de función compuesta (ver 2(2));
④Método de imagen.
Nota: El método de definición y el método de derivación se utilizan principalmente para demostrar la monotonicidad.
7. Periodicidad de la función
(1) Definición de período:
Si hay (aquí hay una constante distinta de cero) en el dominio de definición , esta función se llama Una función periódica es uno de sus períodos.
El más pequeño de todos los períodos positivos se llama período positivo mínimo de la función. A menos que se indique lo contrario, todos los períodos encontrados se refieren al período mínimo positivo.
(2) Período de la función trigonométrica
(3) Determinación del período funcional
①Método de definición (valor de prueba) ②Método de imagen ③Método de fórmula (usando (2) Conclusiones)
(4) Conclusiones relacionadas con los períodos;
8. Imágenes y propiedades de funciones elementales básicas
(1) Función de potencia: (; (2) ) Función exponencial:;
③ Función logarítmica:; ④ Función seno:;
⑸ Función coseno: (6) Función tangente: (7) Función cuadrática:;
Otras funciones comúnmente utilizadas:
1 Función proporcional:; ②Función proporcional inversa:; Especial
2 funciones;
9. función:
(1) Fórmula analítica:
①Fórmula general:; ②Vértice:, es decir, el vértice;
③Fórmula cero
.⑵ Factores a considerar al resolver problemas de funciones cuadráticas:
①Dirección de apertura; ②Eje de simetría; ③Valor final; ④Intersección con eje de coordenadas (5) Discriminante; >⑶Solución al problema de función cuadrática: ①Combinación de números y formas; ②Discusión sobre clasificación:
(1) Método del espejo: (1) Método de búsqueda de puntos (preste especial atención al dibujo de cinco puntos de funciones trigonométricas) (2 ) Método de transformación espejo (3) Método derivado.
(2) Transformación de imagen:
1 Transformación de traducción: ⅰ, 2 - "positiva izquierda, negativa derecha"
ii - "positiva hacia arriba y dirección negativa" "Abajo";
3 Transformación de escala:
ⅰ, (————La coordenada vertical permanece sin cambios y la coordenada horizontal se extiende dos veces;
ⅱ, (—— La abscisa permanece sin cambios y la ordenada se estira al doble de su tamaño original;
4 Transformación simétrica: ⅰ; ⅱ;
ⅲ; ⅳ;
5 Conversión de volteo:
I - no se mueve hacia la derecha, gira de derecha a izquierda (la imagen de la izquierda se elimina
ⅱ - no lo hace); sube, no baja (||Imagen debajo de Ninguna);
11. Prueba de simetría de la imagen de la función (curva)
(1) Demuestre la simetría de la imagen de la función, es decir, demostrar que cualquier punto de la imagen está alrededor del centro de simetría (eje de simetría) que todavía está en la imagen;
(2) Demostrar la simetría entre la función y la imagen, es decir, demostrar que el punto de simetría de cualquier punto de la imagen con respecto al centro de simetría (eje de simetría) está en la imagen, y viceversa;
Nota:
①Curva C1: f (x, y ) = 0 La ecuación C2 de la curva simétrica alrededor del punto (a, b) es: f (2a-x, 2 b-y)= 0;
②Curva C1: f (x, y)=0 La La ecuación C2 de la curva simétrica sobre la línea recta x=a es: f (2a-x, y)= 0
③Curva C1: f (x, y) = 0, la ecuación de la curva simétrica C2 sobre y=x+a (o y =-x+a) es f (y-a, x+a) = 0 (o f (-y+a,-x+a)= 0);
④ f (a+x) = f (b-x) (x ∈ r) y = f (x) imagen sobre la Línea x=simétrica;
En particular: f (a+x) = f (a-x) (x ∈ r) y = f (x) La imagen es simétrica respecto a la recta x=a;
⑤Las gráficas de las funciones y = f (x-a) e y = f (b-x) son simétrica respecto a la recta x=;
12. Solución al punto cero de la función:
(1) Método Directo (encontrar la raíz); (3) Método de bisección
13. Derivadas
(1) Definición de derivada: f(x) en el punto La derivada de x0 se registra como;
④;⑤;⑥;⑦;
⑧
(3) Cuatro. algoritmos de derivadas:
(4) Derivadas (científicas) de funciones compuestas:
⑸Aplicaciones de derivadas:
① Usar derivadas para encontrar rectas tangentes: Nota: ¿El punto dado en ⅰ es un punto tangente? ⅱ ¿Es una recta tangente que "existe" o "pasa" este punto?
② ¿Usa derivadas para determinar la monotonicidad? >I es una función creciente; ⅱ es una función decreciente;
ⅲ es una constante;
③ Usa derivadas para encontrar valores extremos: I, encuentra las derivadas Ⅱ. de la ecuación; ⅲValores extremos de la lista.
(4) Utilice los valores máximo y mínimo de la derivada: I para encontrar el valor extremo; Ⅱ para encontrar el valor del punto final del intervalo (si lo hay); .
14. (Ciencia) Integral definida
(1) Definición de integral definida:
⑵Propiedades de la integral definida
(3) Teorema básico del cálculo (fórmula de Newton-Leibniz):
⑷ Aplicación de integral definida: ① Encuentra el área de un trapecio curvo:
3 Encuentra la distancia de velocidad variable lineal movimiento: ③Encuentra el trabajo realizado al cambiar la fuerza.
La tercera parte son funciones trigonométricas, transformaciones de identidad trigonométricas y soluciones trigonométricas.
1. (1) Conversión mutua entre sistema de ángulos y sistema de arco: radianes, radianes, radianes.
⑵Fórmula de longitud de arco:;
2. Definición de funciones trigonométricas
3. Reglas de símbolos de funciones trigonométricas: primera, totalmente positiva, segunda, seno, tercera, tangente y cuarta, coseno;
4. Reglas de memoria para fórmulas de inducción: "El nombre de la función permanece sin cambios y el símbolo depende del cuadrante";
5.
(2) Eje de simetría: Centro de simetría:;
6. Relaciones básicas de funciones trigonométricas congruentes:
7. tangente de la suma y diferencia de dos ángulos
8. Fórmula del doble ángulo
9 Teorema del seno y del coseno;
(1) Teorema del seno
⑵Teorema del coseno
10 . Varias fórmulas:
(1) Fórmula del área del triángulo:
2 Radio del círculo inscrito r =; Diámetro del círculo circunscrito 2R=
11. del número de soluciones;
Parte 4 Geometría Sólida
1 Tres vistas y vista directa: Nota: La relación entre el área de la figura original y el área de . La vista directa.
2. Fórmula de volumen y área (lateral) de la tabla:
(1) Columna: (1) Área de superficie: S = lado S + base 2S; = ; ③ Volumen: V = S base h
⑵ Cono: ① Área de superficie: S = S base h: <; / p>
⑶ Cuerpo de la plataforma: ① Área de superficie: S = S lado + S superior inferior y S inferior inferior ② Área exterior: S lado = ③ Volumen: v = (s+)h; p> ⑷Esfera: ①Superficie: s =; ②Volumen: V=.
3. Prueba de relación posicional (método principal):
(1) Las rectas son paralelas a las rectas: (1) Axioma 4; (2) Teorema de la propiedad de las rectas paralelas; y planos; (3) El teorema de propiedad del paralelismo plano.
⑵ Una línea recta es paralela a un plano: ① El teorema de determinación de que una línea recta y un plano son paralelos; (2) Las líneas paralelas enfrentadas son paralelas entre sí.
(3) Los planos son paralelos a planos: (1) Teorema de determinación y corolario del paralelismo plano ② Dos planos perpendiculares a la misma recta son paralelos;
⑷La línea recta es perpendicular al plano: ①El teorema de determinación de que la línea recta es perpendicular al plano; (2) El teorema de propiedad del plano vertical;
5] El plano es perpendicular al plano: ① Definición: el ángulo diédrico formado por dos planos es un ángulo recto (2) Teorema de juicio de los planos verticales.
Nota: El método vectorial también se puede utilizar en ciencia.
4. Curvas: (Paso-ⅰ. Encuentra o crea un ángulo; ⅱ. Busca el ángulo)
(1) Solución del ángulo formado por rectas en diferentes planos:
1 Método de traducción: Traducir una línea recta, 2 Construir un triángulo;
3 ② Método complementario: Hacer un cubo, paralelepípedo, cuboide, etc. 4. Encuentra la relación entre dos líneas en diferentes planos.
Nota: La ciencia también puede utilizar el método vectorial para convertirlo en el ángulo entre dos vectores directores en línea recta.
(2) El ángulo entre la línea recta y el plano:
①Método directo (definido por el ángulo de la línea ②Primero encuentre la distancia h desde el punto en la diagonal hasta la diagonal); plano, y al comparar las longitudes de las diagonales se obtiene sen.
Nota: La ciencia también puede utilizar el método vectorial para convertir el ángulo entre el vector director de la recta y el vector normal del plano.
(3) Solución del ángulo diédrico:
Método de definición: elija un punto (punto especial) en el lado del ángulo diédrico, forme un ángulo plano y luego resuelva;
p>
② Método de las tres perpendiculares: dibuja (o encuentra) una perpendicular desde un punto en un semiplano a otro semiplano, usa el teorema de las tres perpendiculares o el teorema inverso para encontrar el ángulo plano del ángulo diédrico y luego resuelva;
③Método de proyección: use la fórmula de proyección de área:, donde está el ángulo plano;
Nota: Para ángulos diédricos sin aristas, haga primero los bordes y luego elija el método anterior;
p>
La ciencia también puede usar el método vectorial para convertirlo en el ángulo entre dos tipos de vectores normales.
5. Encuentra la distancia: (Paso-ⅰ). Encuentre o haga un segmento de línea vertical; ⅱ. Encuentre la distancia)
(1) La distancia entre dos líneas rectas en lados opuestos: generalmente haga primero un segmento de línea vertical común y luego haga el cálculo;
⑵ La distancia de un punto a una línea recta: generalmente usa el teorema de las tres perpendiculares para hacer un segmento de línea vertical y luego resuélvelo;
(3) La distancia desde un punto a un plano:
(1) Método de la superficie vertical: con la ayuda de Las propiedades verticales de la superficie (la clave es determinar la superficie vertical de la superficie conocida) haga un segmento de línea vertical y luego resuélvalo
⑤Método de volumen igual;
La ciencia también puede utilizar el método vectorial:.
(4) Distancia esférica: (paso)
(I) Encuentra la longitud del segmento AB (2) Encuentra el número de radianes del ángulo central de la esfera ∠; AOB; (iii) Encuentre la longitud del arco inferior AB.
6. Conclusión:
(1) Para los tres rayos OA, OB y OC comenzando desde el punto O, si ∠AOB=∠AOC, entonces el punto A en el plano ∠ BOC Proyectado sobre la bisectriz de ∠BOC;
(2) Fórmula de nivel e inclinación (fórmula del teorema del ángulo mínimo):
(3) El ángulo formado por los lados del cuadrado regular pirámide y la base son iguales, si se registran como, entonces S lado cos = S base;
(4) Propiedades del cuboide
① La diagonal del cuboide está formada por los tres lados pasando por el mismo vértice Los ángulos son: COS 2+COS 2+COS 2+COS 2 = +0; sin2 +sin2 +sin2 =2.
② Cos 2+Cos 2+Cos 2; = 2 Si el cuboide Los ángulos que forman la diagonal y los tres lados que pasan por un mismo vértice son sen2 +sen2 +sen2 =1.
5] Propiedades del tetraedro regular: Suponiendo que la longitud del lado es; , entonces el tetraedro regular:
1 Altura:; ② Distancia entre aristas emparejadas:; ③ Coseno del ángulo entre dos caras adyacentes: ④ Radio de dos esferas inscritas:; /p>
Parte 5: Rectas y círculos
1. Ecuaciones lineales
(1) Tipo de punto oblicuo: (2) Tipo de corte oblicuo: (3) Intercepción Tipo:
(4) Fórmula de dos puntos: 5] Fórmula general: (A y B no son todos 0).
(Vector director de la recta: (, vector normal (
2. Los pasos para resolver el problema de programación lineal son:
(1) Columna restricciones; (2) Hacer una región factible y escribir la función objetivo (3) Determinar la solución óptima de la función objetivo
3 La relación posicional entre las dos líneas rectas:
>4. Sistema lineal
5. Varias fórmulas
(1) Sean A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3). centro de gravedad de ⊿⊿abc g: ();
⑵La distancia desde el punto P (x0, y0) a la recta Ax+By+C=0:
( 3) Dos rectas paralelas Ax+By La distancia entre +C1=0 y Ax+By+C2=0 es;
6 Ecuación de un círculo:
(1) Estándar. ecuación: (1); ②
p>(2) Ecuación general: (
Nota: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 significa círculo A=C ≠0 y B=0 y D2+E2- 4af > 0;
7 Resolver la ecuación del círculo: (1) Método del coeficiente indeterminado (2) Método del sistema geométrico;
8. Sistema de círculos:
⑴;
Nota: Al representar la intersección de dos círculos.
9. línea recta, círculo relación posicional: (Principalmente métodos geométricos maestros)
(1) Relación posicional entre un punto y un círculo: (Indica la distancia desde el punto al centro del círculo)
(1) Puntos en el círculo; ②El punto está dentro del círculo; ③El punto está fuera del círculo
⑵La relación posicional entre la línea recta y el círculo: (indica la distancia desde el círculo). centro del círculo a la línea recta)
①Tangencial; ②Intersección; separación de 3 fases
(3) Relación posicional entre círculos: (representa la distancia entre el centro del círculo, representa el radio de los dos círculos, y)
(1) Separación (2) Circuncisión;
④Corte interno
10. relacionado con este círculo:
(1) Intersección La ecuación tangente del punto M(x0, y0) en el círculo x2+y2=r2 es x0x+y0y = R2;
Círculo. (x-a)2+(y-b)2=punto M(x0, y0) en el círculo (x-a)2+(y-b)2=r2 ) La ecuación tangente del círculo es: (x0-a)(x-a)+(y0-b )(y-b)= R2;
⑵Los diámetros son A(x1, y2) y B(x2, y2) La ecuación de un círculo es (x-x 1)(x-x2)+(y-y 1) (y-y2)= 0.
Parte 6 Secciones Cónicas
1. Definición: ( 1) Elipse:
(2) Hipérbola: (3). ) Parábola: Omitida
2. Conclusión
(1) Radio focal: (1) Elipse: (e es excentricidad (izquierda "+", derecha "-");
②Parábola:
Fórmula de longitud de 2 cuerdas:
Nota: (1) Longitud de cuerda focal: ① Elipse: ② Parábola: = x 1+x2+ p =; (2) Trayectoria (cuerda más corta): ① Elipse e hipérbola: ② Parábola: 2p.
⑶La ecuación estándar de una elipse y una hipérbola que pasa por dos puntos se puede establecer como: (cuando ambas son mayores que 0, significa una elipse, y cuando es una hipérbola);
(4) Conclusión en la elipse:
①El área máxima del rectángulo inscrito: 2ab;
②P y q son dos puntos cualesquiera en la elipse, OP 0Q , entonces;
③Elipse Triángulo focal:
④El punto es máximo cuando coincide con el vértice del eje menor de la elipse;
⑸Conclusión de la hipérbola:
(1) Asíntota de hipérbola (a & gt0, b & gt0);
(2)* * *La ecuación estándar hiperbólica de la asíntota es un parámetro, ≠0);
③Triángulo de enfoque hiperbólico: 0, B > 0), y F1 y F2 son los focos izquierdo y derecho respectivamente, entonces la coordenada de abscisa del centro del círculo inscrito de △PF1F2 es;
④La hipérbola es una asíntota de hipérbola equilátera, asintótica Las rectas son perpendiculares entre sí;
(6) Conclusión en la parábola:
① Parábola y2 = 2px (p & gt; atributo de enfoque y cuerda AB de 0): 0, las variables están correlacionadas positivamente <0, las variables están correlacionadas negativamente;
(2) ①Cuanto más cerca de 1, más fuerte será la correlación lineal entre los dos. variables; ②Cuando está cerca de 0, casi no hay correlación lineal entre las dos variables.
Parte 14: Términos lógicos de uso común y pruebas de razonamiento
1. Cuatro proposiciones:
(1) Proposición original: si p es q; : si Q es P;
(3) Sin proposición: si P es Q; (4) Proposición negativa: si q es p
Nota: La proposición original equivale a la negación Proposición; la proposición inversa es equivalente o no.
2. Juicio de condiciones necesarias y suficientes:
(1) Método de definición: razonamiento hacia adelante y hacia atrás
(2) Utilice la inclusión entre conjuntos; Por ejemplo, si A es una condición suficiente para B o B es una condición necesaria para A; si A=B, entonces A es una condición necesaria y suficiente para B;
3.
(1) Y: Forma proposicional p q;; p q p q p q p
⑵ O (o): Forma proposicional p q;;
(3) no: Forma proposicional P. Verdadero falso falso verdadero falso.
Falso, verdadero, falso, verdadero.
Falso, falso, verdadero
4. Cuantificadores de nombre completo y cuantificadores existenciales
(1) Cuantificadores de nombre completo: "todos", "cualquiera", etc. , representado por;
Proposición universal p:
La negación de la proposición universal p:.
(2) Cuantificadores existenciales: "hay uno", "al menos uno", etc. , representado por;
Proposición especial p:
La negación de la proposición especial p:;
Parte 15 Razonamiento y prueba
1 Razonamiento:
(1) Razonamiento por la razón: El razonamiento inductivo y el razonamiento analógico se basan en hechos existentes, mediante observación, análisis, comparación y asociación, inducción y analogía, y luego plantean una conjetura. A esto lo llamamos razonamiento racional.
① Razonamiento inductivo: El razonamiento de que ciertos objetos de un determinado tipo de alimento tienen ciertas características, y todos los objetos de ese tipo de alimento tienen estas características, o el razonamiento de que ciertos hechos resumen conclusiones generales, se llama inferencia. Se llama razonamiento inductivo, o método de inducción para abreviar.
Nota: El razonamiento inductivo es el razonamiento de la parte al todo, de lo individual a lo general.
(2) Razonamiento analógico: Partiendo del hecho de que dos tipos de objetos tienen ciertas características conocidas que son similares a un tipo de objeto, infiriendo que otro tipo de objeto también tiene estas características, este tipo de razonamiento Se llama Razonamiento por analogía, o simplemente por analogía.
Nota: El razonamiento analógico es especial versus razonamiento especial.
⑵ Razonamiento deductivo: partir de principios generales y derivar una conclusión en una situación especial se denomina razonamiento deductivo.
Nota: El razonamiento deductivo es el razonamiento de lo general a lo específico.
El "silogismo" es un modelo general de razonamiento deductivo, que incluye:
(1) Premisa mayor - conclusión general conocida;
(2) Premisa menor - la situación especial en estudio;
(3) Conclusión: el juicio de la situación especial basado en principios generales.
Dos. Prueba
Prueba directa
(1) Método integral
En general, se utilizan condiciones conocidas y algunas definiciones matemáticas, teoremas, axiomas, etc. , luego de una serie de razonamientos y argumentaciones, finalmente se llega a la conclusión a demostrar. Este método de prueba se llama síntesis. El método integral también se denomina método de deducción directa o método causal.
⑵Método de análisis
De manera general, a partir de la conclusión a demostrar, se buscan gradualmente las condiciones suficientes para su establecimiento. Hasta el final, la conclusión a demostrar se reduce al juicio de una condición obviamente establecida (condiciones conocidas, definiciones, teoremas, axiomas, etc.). ).Este método de prueba se llama análisis. El método de análisis también se denomina método de prueba por contradicción o método de celebración de la causa.
2. Prueba indirecta - reductio ad absurdum
En términos generales, suponiendo que la proposición original no es verdadera, mediante un razonamiento correcto, y finalmente obteniendo una contradicción, se puede demostrar que la hipótesis. está mal. Se establece la proposición original. Este método de prueba se llama prueba por contradicción.
Adjunto: Inducción matemática (solo ciencias)
Las demostraciones generales de proposiciones relacionadas con números enteros positivos se pueden realizar según los siguientes pasos:
(1) Prueba La proposición es verdadera cuando se toma el primer valor;
⑵ Suponga que la proposición es verdadera y demuestre que la proposición también lo es.
Entonces se puede juzgar a partir de (1) (2) que la proposición es verdadera para todos los números enteros positivos desde el principio.
Este método de demostración se llama inducción matemática.
Nota: ① Los dos pasos de la inducción matemática son indispensables. Al utilizar la inducción matemática, debes seguir estrictamente los pasos para probar el problema.
El valor de 3 depende del tema; . 5 podría ser 1, 6 podría ser 2, y así sucesivamente.
La parte 16 se divide en partes optativas de ciencias
1 Teorema de permutación, combinación y binomio
(1) Fórmula del número de permutación: = n (n-1). ) (n-2)...(n-m+1) = (m ≤ n, m, n∈N*), cuando m=n, es la disposición total = n (n-1). ;
⑵Fórmula de números combinados: (m ≤ n),;
⑶Propiedades de los números combinatorios:
(4) Teorema del binomio:
p>
①Términos generales: ②Preste atención a la diferencia entre coeficientes binomiales y coeficientes;
⑸Las propiedades de los coeficientes binomiales:
(1) El coeficiente binomial es igual a The distancia entre el primer y el segundo extremo; ② Si n es un número par, el coeficiente binomial (+1) del término medio es el mayor si n es un número impar, el coeficiente binomial (suma+1) de los dos medios; términos es el más grande;
③
(6) Al calcular la suma de los coeficientes de la expansión binomial o la suma de los coeficientes impares (pares), preste atención a la asignación. método.
2. Probabilidad y estadística
(1) Tabla de distribución de variables aleatorias:
① Propiedades de la tabla de distribución de variables aleatorias: pi ≥ 0, I = 1, 2,…;p 1+p2+…= 1;
②Variable aleatoria discreta:
Expectativa: ex = x 1p 1+x2p 2+…+xnpn+…;
Varianza: dx =;