Apuntes de clases de matemáticas de segundo grado: el concepto de derivadas

1. Análisis de libros de texto

El concepto de derivada es el contenido del Capítulo 1.1.2 del nuevo libro de texto de secundaria 2-2. Con base en la velocidad física promedio, la velocidad instantánea y la tasa de cambio promedio aprendidas en la clase anterior, se expone la relación entre la tasa de cambio promedio y la tasa de cambio instantánea, y el concepto de derivadas se deriva de ejemplos para aprender mejor las derivadas. en el futuro. Se sientan las bases para el significado y las aplicaciones geométricas.

Los nuevos libros de texto han cambiado mucho al tratar este tema. La diferencia entre este y el antiguo libro de texto es que parte de la tasa de cambio promedio y utiliza un método de "aproximación" intuitivo para definir la derivada.

Pregunta 1: Tasa de inflado promedio del globo -→tasa de inflado instantáneo

Pregunta 2: velocidad promedio de buceo en plataforma alta -→velocidad instantánea -→

Según La estructura del libro de texto anterior y el análisis de contenido, según el nivel cognitivo de los estudiantes, formulan los siguientes objetivos de enseñanza, puntos clave y dificultades.

2. Objetivos docentes

1. Conocimientos y habilidades:

A través del análisis de un gran número de ejemplos, hemos experimentado la transición desde la tarifa media. de cambio a la tasa de cambio instantánea Comprender los antecedentes prácticos del concepto de derivada y saber que la tasa de cambio instantánea es la derivada.

2. Proceso y métodos:

① Cultivar las habilidades de observación, análisis, comparación e inducción de los estudiantes a través de cálculos prácticos.

(2) A través de la exploración de problemas, realice el método de pensamiento matemático de aproximar lo conocido, hacer analogías, explorar lo desconocido y pasar de lo especial a lo general.

3. Emociones, actitudes y valores:

Comprender la connotación de las derivadas desde una perspectiva deportiva hace que ya no sea difícil para los estudiantes dominar el concepto de las derivadas, estimulando así el interés de los estudiantes. en el aprendizaje de matemáticas.

3. Puntos clave y dificultades

Punto clave: La formación del concepto de derivada y la comprensión de su connotación.

Dificultad: explore la tasa de cambio instantánea en función de la tasa de cambio promedio, comprenda profundamente la connotación de las derivadas y guíe a los estudiantes para superar las dificultades mediante la observación de aproximación.

4. Ideas de enseñanza (específicamente en la tabla siguiente)

Contenido de enseñanza, ideas de diseño de interacción profesor-alumno, creación de escenarios e introducción de nuevas diapositivas de lecciones.

Repasa las preguntas de pensamiento dejadas en la clase anterior:

En saltos de plataforma, la altura del atleta h (unidad: m) relativa a la superficie del agua y el tiempo después del despegue t (unidad : s ), existe una relación funcional entre ellos. h(t)=-4,9t 2 6,5t 10. Calcule la velocidad promedio de los atletas durante este período y piense en las siguientes preguntas:

(1) ¿Siguen los atletas allí durante este período?

(2) ¿Crees que hay algo de malo en utilizar la velocidad promedio para describir el estado atlético de un atleta?

Primero, revise las preguntas de pensamiento que sobraron de la clase anterior:

Con base en la discusión de los estudiantes y los resultados del intercambio, se propone que la velocidad promedio de los atletas durante este período es "0", pero sabemos que los atletas no están "estacionarios" durante este período. ¿Por qué sucede esto?

Despierte la curiosidad de los estudiantes y comprenda que la velocidad promedio sólo puede describir de manera aproximada el estado de movimiento de un objeto dentro de un cierto período de tiempo. Para describir con mayor precisión el movimiento de un objeto, es necesario estudiar la velocidad en un momento determinado, es decir, la velocidad instantánea.

Deje que los estudiantes entren al aula con preguntas, estimule la curiosidad de los estudiantes, explore y demuestre sus connotaciones.

Según el nivel cognitivo de los estudiantes, la formación de conceptos se divide en dos niveles:

Combinado con el problema del buceo, queda clara la definición de velocidad instantánea.

Pregunta 1: Piense en cómo encontrar la velocidad instantánea del atleta, como la velocidad instantánea en t=2.

Haga la primera pregunta, organice a los estudiantes para discutir y guíelos para que piensen naturalmente en elegir un momento específico, como t = 2, y estudien los cambios de velocidad promedio cerca de él para encontrar la idea de ​​El problema, concretando así el problema abstracto.

Comprender la connotación de derivados es el enfoque y la dificultad de esta lección. Al plantear dudas en diferentes niveles, los estudiantes son empujados al centro del problema, permitiéndoles operar y sentir intuitivamente, resaltar puntos clave y superar dificultades.

Pregunta 2: Por favor, continúa pensando.

¿Qué valor quieres calcular cuando δt toma valores diferentes?

δt

δt

-0,1 0,1

-0,01 0,01

-0,001 0,001

-0.0001 0.0001

-0.00001 0.00001

………….….…….…

La cognición de conceptos de los estudiantes requiere mucha intuición datos, así que pedí a los estudiantes que trabajaran en grupos para usar una calculadora y completar la pregunta 2.

Ayude a los estudiantes a comprender el método de pensamiento matemático de comenzar desde la velocidad promedio y "explorar lo desconocido con lo conocido" y cultive la capacidad práctica de los estudiantes.

Pregunta 3: Cuando δt tiende a 0, ¿cuál es la tendencia en la velocidad promedio?

δt

δt

-0,1 -12,61 0,1 -13,59

-0,01 -13,051 0,01 -13,149

-0.001 -13.0951 0.001 -13.1049

-0.0001 -13009951 0.0001 -13.10049

-0.00001 -13.099951 0.00001 -13.100049

………….… … .…

Por un lado, discuten en grupos, actúan en el escenario y muestran los resultados de los cálculos. Al mismo tiempo, decimos: en el momento t=2, cuando δt tiende a 0, la velocidad promedio tiende a un cierto valor -13,1, que es la velocidad instantánea. Abordaremos esta idea por primera vez; Por otro lado, con la ayuda de la animación, guíe a los estudiantes a observar, analizar, comparar y resumir a través de múltiples canales, y experimentar ideas cercanas por segunda vez. Para facilitar la expresión, en matemáticas se utilizan símbolos simples, es decir, la combinación de números y formas puede eliminar los obstáculos de pensamiento de los estudiantes, superar las dificultades de enseñanza y experimentar la belleza simple de las matemáticas.

Pregunta 4: ¿Cómo expresar la velocidad instantánea del deportista en un momento determinado?

Guía a los estudiantes a seguir pensando: ¿Cómo expresar la velocidad instantánea del atleta en un momento determinado? Los estudiantes se dan cuenta de que reemplazará a 2.

En comparación con los libros de texto antiguos, el concepto de límite no se menciona aquí, pero la velocidad instantánea de un instante se define con una aproximación vívida, lo que está más en línea con las reglas cognitivas de los estudiantes, mejora la capacidad de pensamiento, y encarna formas de pensar especiales y generales.

Utiliza otros ejemplos para abstraer el concepto de derivados.

Pregunta 5: ¿Cómo representa el volumen la tasa de inflación instantánea de un globo?

Por analogía con el problema de velocidad instantánea aprendido antes, se guía a los estudiantes para obtener la expresión de la tasa de expansión instantánea.

La interacción activa profesor-alumno puede ayudar a los estudiantes a ver las conexiones entre los puntos de conocimiento, ayudar a reorganizar y transferir el conocimiento y encontrar el valor matemático en diferentes contextos reales * * * es decir, la tasa de cambio instantánea para diferentes situaciones Las cuestiones prácticas tienen diferentes implicaciones prácticas.

Pregunta 6: Si las funciones en estos dos problemas de tasa de cambio se expresan como, ¿cuál es la tasa de cambio instantánea de la función?

Con base en las dos preguntas anteriores, proponemos además que la tasa de cambio instantánea de la función que estudiamos aquí, es decir, la derivada de la función, se escribe como

( también se puede escribir como)

Guía a los estudiantes para que abandonen la importancia práctica de problemas específicos y obtengan la definición de derivadas de manera abstracta, de fácil a difícil, de especial a general, para ayudar a los estudiantes a completar un salto en el pensamiento; al mismo tiempo, se mencionan los antecedentes de la generación de derivados para que los estudiantes sientan que bajo la influencia de la cultura matemática, siento que las matemáticas provienen de la vida y sirven a la vida.

Paso a paso, ampliado

Ejemplo ampliado 1: Refinar el petróleo crudo en diferentes productos como gasolina, diésel y plástico requiere enfriar y calentar el petróleo crudo. Si la temperatura del petróleo crudo (unidad: ) es x h

(1) Calcule la tasa de cambio instantáneo de la temperatura del petróleo crudo en la segunda y sexta hora, y explique su importancia.

(2) Calcule la tasa de cambio instantáneo de la temperatura del petróleo crudo en la tercera y quinta hora y explique su importancia.

Pasos:

① Inspire a los estudiantes a encontrar sumas basadas en la definición de derivadas.

② Dado que hemos obtenido la tasa de cambio instantáneo de la temperatura del petróleo crudo a las 2 h y 6 h como -3 y 5 respectivamente, ¿podemos explicar su significado?

(3)¿Puedes resolver el problema 2 usando el mismo método?

(4) Profesores y estudiantes * * * utilizan el método de inducción. La derivada es la tasa de cambio instantánea, que puede reflejar la velocidad de cambio del objeto.

Haga preguntas paso a paso para guiar a los estudiantes a explorar la connotación de las derivadas.

Cultivar la conciencia de aplicación de los estudiantes es uno de los conceptos importantes defendidos por los estándares del plan de estudios de matemáticas de la escuela secundaria. El uso de problemas específicos como vehículo en la enseñanza puede profundizar la comprensión de los estudiantes sobre la connotación de las derivadas y experimentar la aplicación de las matemáticas en la vida real.

Ejercicio de variación: Se sabe que el desplazamiento (m) del objeto en movimiento satisface la relación con el tiempo t(s) =-2t2 5t (1) Encuentre la velocidad instantánea del objeto en el 5to y 6º segundos.

(2) Encuentre la velocidad instantánea del objeto en el tiempo t.

(3) Encuentre la aceleración del objeto en el tiempo t y determine qué movimiento está haciendo el objeto.

Los estudiantes lo completan de forma independiente, actúan en el escenario y experimentan la idea de proximidad por tercera vez.

El propósito es permitir que los estudiantes aprendan a observar modelos físicos desde una perspectiva matemática, establecer conexiones entre disciplinas, comprender más profundamente las leyes de los cambios en las cosas y resumir e internalizar el conocimiento.

1. El concepto de velocidad instantánea

2. El concepto de derivadas

3. Método de pensamiento: "utilizar lo conocido para explorar lo desconocido". , analogía, de De especial a ordinario.

Guía a los estudiantes para que discutan, se complementen y luego respondan. El profesor comenta y les proporciona diapositivas.

Deje que los estudiantes resuman por sí mismos, no solo el conocimiento, sino también los métodos de pensamiento matemático. Este es un proceso de reorganización del conocimiento, integración multidimensional y autoconciencia de alto nivel, que puede ayudar a los estudiantes a construir su propio sistema de conocimiento, aclarar su contexto de conocimiento y desarrollar buenos hábitos de estudio.

Tarea, diseño de pizarra (lectura obligatoria) Practica las preguntas 2, 3 y 4 del grupo A en la página 10

(Opcional): Piensa en la pregunta 1 del grupo B en la página 11 La retroalimentación de la información de los estudiantes puede descubrir y compensar las deficiencias en la enseñanza, centrándose al mismo tiempo en las diferencias individuales y enseñando a los estudiantes de acuerdo con sus aptitudes.

El diseño de la pizarra adjunta es claro y ordenado, lo que facilita resaltar los objetivos de conocimiento.

Métodos de aprendizaje y métodos de enseñanza del verbo (abreviatura de verbo)

Métodos de aprendizaje y herramientas de enseñanza

Ley de aprendizaje:

(1) Aprendizaje cooperativo: guíe a los estudiantes para que discutan en grupos, cooperen, se comuniquen y exploren problemas juntos. (Como el tratamiento de la pregunta 2)

(2) Aprendizaje independiente: a través de la experiencia personal, se guía a los estudiantes para que participen en actividades matemáticas mediante el habla, el pensamiento y la práctica práctica. (Como el tratamiento de la pregunta 3)

(3) Aprendizaje por investigación: guíe a los estudiantes para que ejerzan su iniciativa subjetiva y exploren activamente nuevos conocimientos. (como el procesamiento de ejemplos)

Herramientas didácticas: ordenadores, multimedia, calculadoras.

Método de enseñanza: toda la clase se centra en el principio de enseñanza de "Todo es para el desarrollo del estudiante", destacando ① la interacción profesor-alumno y la exploración * * *. (2) Orientación: orientación del profesor, paso a paso.

(1) Introducción de nuevos cursos: hacer preguntas para estimular la sed de conocimiento de los estudiantes.

(2) Comprenda la connotación de derivadas: combine números y formas, realice cálculos prácticos, organice a los estudiantes para que exploren de forma independiente y obtenga la definición de derivadas.

(3) Procesamiento de ejemplos: comience siempre desde el problema y plantee preguntas en diferentes niveles, permitiéndoles disfrutar del conocimiento durante la exploración.

(4) Práctica de variación: profundizar la comprensión de la connotación de los derivados y consolidar nuevos conocimientos.

Evaluación y análisis de verbos intransitivos

Este curso muestra un proceso de exploración matemática completo desde la velocidad promedio hasta la velocidad instantánea y las derivadas. Haga preguntas, realice cálculos y observaciones, descubra patrones y dé definiciones, permitiendo a los estudiantes experimentar el proceso de redescubrimiento del conocimiento y promover el aprendizaje personalizado.

A juzgar por los libros de texto antiguos, el punto de partida para aprender el concepto de derivada es el límite, es decir, desde el límite de la secuencia, hasta el límite de la función, y luego hasta la derivada. Este método de construcción de conceptos es muy lógico y sistemático, pero a los estudiantes les resulta difícil comprender la definición formal de límites, lo que también afecta su comprensión de la naturaleza de las derivadas.

El nuevo libro de texto no introduce la definición formal de límites y conocimientos relacionados, sino que utiliza un método intuitivo para definir derivados.

Al calcular la lista, puede captar intuitivamente la tendencia cambiante de la función (incluida la definición descriptiva del límite), lo que es más fácil de entender para los estudiantes

Las ventajas de; Definir la derivada de esta manera es:

1. Evitar la contradicción entre el nivel cognitivo de los estudiantes y el aprendizaje del conocimiento;

2. derivadas;

3. Los estudiantes tienen una rica base intuitiva, tener una cierta comprensión de las ideas de aproximación es beneficioso para aprender una definición de límite estricta en la etapa primaria de la universidad.

(Adjunto) Diseño de Pizarra